在父母和孩子都去世的情况下，遗产的继承问题需要分情况讨论，具体如下：
若父母先于孩子去世，且孩子未留下遗嘱或遗赠扶养协议：
- 根据《中华人民共和国民法典》的法定继承顺序，孩子的遗产将由其配偶、父母（若在世）和子女（若存在，包括子女的直系晚辈血亲，即代位继承的情况）作为第一顺序继承人继承。但在此情境下，父母已去世，若孩子无子女，则遗产可能由孩子的兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等第二顺序继承人继承（若他们还在世）。然而，由于题目明确父母和孩子都已去世，且未提及孩子的配偶、兄弟姐妹等，若孩子无其他第一、二顺序继承人，则遗产可能进入无人继承又无人受遗赠的情境，最终归国家所有，用于公益事业；若死者生前是集体所有制组织成员的，归所在集体所有制组织所有。但这种情况较为特殊，且实际中会尽量寻找其他可能的继承人。
- 特殊情况：如果孩子有遗嘱或遗赠扶养协议，那么遗产的分配将优先遵循遗嘱或协议中的约定。
若孩子先于父母去世，且父母未留下遗嘱或遗赠扶养协议：
- 父母的遗产将由其配偶、子女（若在世）和父母（即孩子的祖父母、外祖父母，若他们还在世）作为第一顺序继承人继承。但在此情境下，孩子已去世，若孩子无子女代位继承，则父母的遗产将由其配偶（若在世）和父母（即孩子的祖父母、外祖父母）继承。若这些继承人也都不在世，则遗产将由父母的兄弟姐妹等第二顺序继承人继承。
- 同样存在特殊情况：如果父母有遗嘱或遗赠扶养协议，遗产的分配将优先遵循这些约定。
若父母和孩子同时去世，或去世时间相近导致无法确定先后顺序：
- 这种情况下，遗产的继承将变得复杂，可能需要通过法律程序来确定继承顺序和份额。通常，法院会考虑各种因素，如家庭关系、经济状况等，来做出公正的裁决。
- 若存在遗嘱或遗赠扶养协议：则优先遵循这些文件中的约定进行遗产分配。
法律建议：
- 在处理此类复杂的遗产继承问题时，建议尽快咨询专业律师，以确保遗产分配的合法性和公正性。律师可以根据具体情况，提供详细的法律意见和操作建议。
- 如果可能的话，提前订立遗嘱或遗赠扶养协议，明确遗产的分配方式，可以避免很多不必要的纠纷和麻烦。
可能产生的法律后果：
- 如果遗产继承问题处理不当，可能会导致家庭成员之间的纠纷和矛盾，甚至引发法律诉讼。
- 在某些情况下，如果遗产无人继承又无人受遗赠，最终可能会归国家或集体所有，这可能不是遗嘱人或被继承人的初衷。
总结：在父母和孩子都去世的情况下，遗产的继承问题需要根据具体情况来分析。如果涉及复杂的家庭关系或遗产分配问题，建议尽快咨询专业律师以获取准确的法律意见。