核心结论：若私人医院不签劳务合同，劳动者可通过协商、投诉举报、申请仲裁或提起诉讼等途径维护自身合法权益。以下为详细分析：

1. 协商解决

   • 法律依据：根据《劳动合同法》相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。劳动者可先尝试与私人医院进行友好协商，明确告知医院不签劳动合同的行为违反法律规定，要求医院尽快签订书面劳动合同，并可依据法律规定主张相应的权益，如要求支付未签合同期间的双倍工资差额等。
   • 操作建议：在协商过程中，劳动者要注意保留好与医院沟通的记录，如聊天记录、通话录音等，以备后续维权使用。同时，要明确表达自己的诉求和底线，争取通过协商达成一个双方都能接受的解决方案。

2. 向劳动监察部门投诉举报

   • 法律依据：《劳动保障监察条例》规定，劳动保障行政部门对用人单位违反劳动保障法律、法规或者规章的行为，有权进行监督检查，并责令改正。私人医院不签劳动合同属于违反劳动保障法律法规的行为，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉举报。
   • 操作建议：劳动者可准备好相关证据材料，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明自己与医院存在事实劳动关系。然后前往当地劳动监察部门，填写投诉举报表格，详细说明医院不签劳动合同的情况以及自己的诉求。劳动监察部门在受理投诉后，会进行调查核实，并依法对医院进行处理。

3. 申请劳动仲裁

   • 法律依据：《劳动争议调解仲裁法》规定，用人单位与劳动者发生劳动争议，当事人不愿协商、协商不成或者达成和解协议后不履行的，可以向调解组织申请调解；不愿调解、调解不成或者达成调解协议后不履行的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。劳动者与私人医院因不签劳动合同产生争议，属于劳动争议范畴，可以申请劳动仲裁。
   • 操作建议：劳动者需要撰写劳动仲裁申请书，明确申请事项（如要求医院支付未签合同期间的双倍工资差额、签订书面劳动合同等）、事实和理由，并附上相关证据材料。然后前往当地劳动争议仲裁委员会提交申请，仲裁委员会在受理申请后，会安排开庭审理，并依法作出裁决。

4. 提起诉讼

   • 法律依据：如果劳动者对劳动仲裁裁决不服，或者劳动争议仲裁委员会不予受理仲裁申请，劳动者可以向人民法院提起诉讼。法院会依据相关法律法规和事实证据，对案件进行审理并作出判决。
   • 操作建议：劳动者在收到仲裁裁决书后，如果对裁决结果不满意，可以在规定的期限内（一般为15日）向有管辖权的人民法院提起诉讼。在起诉时，需要提交起诉状、仲裁裁决书以及相关证据材料。法院在受理案件后，会安排开庭审理，劳动者要积极配合法院的审理工作，提供必要的证据和陈述。

在处理私人医院不签劳务合同的问题时，劳动者要充分了解自己的权益和维权途径，根据实际情况选择合适的方式维护自己的合法权益。如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。