面对医院未签订劳动合同且未支付工资的情况，您可以通过以下步骤来维护自己的合法权益：

一、收集证据

首先，您需要收集充分的证据来证明与医院之间的劳动关系以及工作细节。这些证据是后续维权的基础，务必重视。具体来说，您可以收集以下几类证据：

1. 工作相关材料：如工作证、考勤记录（包括纸质和电子形式）、排班表、工作邮件、工作群聊天记录等，这些都能直接证明您在医院工作的事实。
2. 收入相关线索：包括与医院谈薪的聊天记录、工资条（即使未发放）、银行流水（如有部分工资发放记录）等，这些证据能够证明医院拖欠您工资的情况。
3. 业务相关材料：如您参与的医疗项目文件、病历记录（需符合医院规定并能证明是您的工作成果）、患者反馈、同事证言等，这些可以从侧面印证您的工作情况。

二、与医院协商解决

在收集到足够证据后，您可以首先尝试与医院的人力资源部门或直接上级进行平和、理性的沟通。说明您的情况，并要求医院与您签订劳动合同并支付拖欠的工资。在沟通过程中，您应注意保留相关的聊天记录、通话录音等作为备份证据。有时，问题可能只是由于医院的流程问题或疏忽导致的，通过协商可能能够迅速解决。

三、向劳动行政部门投诉

如果与医院协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉。投诉时需携带您的身份证件、收集到的证据材料，并详细填写投诉登记表。在投诉表中，您应明确说明医院的违法情况，包括工作时间、未签订合同、拖欠工资等具体信息。劳动监察部门将对此进行调查处理，并可能给出相应的解决方案。

四、申请劳动仲裁

如果劳动行政部门的处理未能满足您的诉求，或者您希望直接通过法律途径解决争议，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。申请时需提交仲裁申请书、身份证明、以及与医院存在劳动关系的证据材料等。仲裁申请书应明确写明双方的基本信息、仲裁请求（如要求支付拖欠工资、未签订劳动合同的双倍工资等）以及事实和理由。请注意，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，自您知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。

五、提起诉讼

如果您对仲裁结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。诉讼阶段需要更加严谨地准备证据和法律依据，并按照法院的要求参加庭审等诉讼活动。法院将根据事实和法律作出判决，以维护您的合法权益。

六、总结与建议

在面对医院未签订劳动合同且未支付工资的情况时，您应保持冷静，并通过合法、合理的途径来维护自己的权益。在整个维权过程中，证据的收集和保留至关重要。同时，您也可以考虑咨询专业律师，以获得更具体的法律建议和支持。记住，法律是保护劳动者权益的有力武器，合理运用法律手段，才能有效维护自己的合法权益。