结论：针对您提出的问题，若公司在第三次签订劳动合同时未与员工签订无固定期限劳动合同，且在第四次合同到期时不给员工续签，公司可能需要承担违法解除劳动合同的法律责任，具体需支付赔偿金。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，避免用人单位通过反复签订短期合同来规避长期用工责任。
二、公司行为分析
第三次未签无固定期限合同：
- 若在第三次签订劳动合同时，公司未与员工签订无固定期限劳动合同，且员工符合签订无固定期限劳动合同的条件（即已连续签订二次固定期限合同且无重大过错），则公司的行为可能构成违法。
第四次不续签合同：
- 在第三次合同到期后，若员工继续在公司工作，且双方未就续签合同达成一致，但员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，公司无权单方面拒绝续签或终止劳动关系。
- 若公司拒绝续签，则可能构成违法解除劳动合同，需承担相应的法律责任。
三、法律责任与赔偿
违法解除劳动合同的责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿金的计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金则为经济补偿标准的二倍，即工作年限×月工资×2。
- 月工资指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
四、应对策略与建议
对劳动者而言：
- 确认合同次数与性质：核实已连续签订三次固定期限合同且无重大过错。
- 主张无固定期限合同：在第三次合同到期前书面要求续签无固定期限合同。
- 保留证据：保存工资记录、合同文本等材料以备维权。
- 协商或仲裁：若遭拒可申请劳动仲裁，要求恢复劳动关系或赔偿。
对用人单位而言：
- 合规管理：符合条件时主动签订无固定期限合同，避免法律风险。
- 优化用工策略：通过绩效考核、岗位调整等方式灵活管理，而非依赖短期合同。
- 完善制度：建立规范的合同管理流程，确保操作合法合规。
若您在此类问题上遇到具体纠纷或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。