针对您提出的“两次续签劳动合同后，公司第三次没有签无固定期限劳动合同”的问题，这确实是一个涉及劳动者权益的重要事项。以下是我为您详细梳理的处理步骤和建议：
一、明确法律依据与自身权益
首先，您需要了解的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，连续订立二次固定期限劳动合同后，且您没有出现该法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），在续订劳动合同时，您有权要求公司签订无固定期限劳动合同。这是您的法定权益，公司不得无故拒绝。
二、与公司进行友好协商
主动沟通：您可以主动与公司的人力资源部门或直接上级进行沟通，明确表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿。在沟通过程中，您可以提及自己已符合签订无固定期限劳动合同的条件，并请求公司依法与您签订。
探讨解决方案：如果公司对签订无固定期限劳动合同有所顾虑，您可以尝试与公司探讨其他解决方案，如调整工作岗位、薪资待遇等，以达成一个双方都能接受的协议。但请注意，这些调整应在合法、合理的范围内进行，且不应损害您的基本权益。
三、向劳动行政部门投诉
如果协商无果，您可以向当地的劳动行政部门进行投诉。在投诉时，您需要准备相关证据，如劳动合同、工资单、考勤记录等，以证明您与公司之间的劳动关系以及公司未依法签订无固定期限劳动合同的事实。劳动行政部门将会对您的投诉进行调查，并根据调查结果采取相应的措施来保护您的合法权益。
四、申请劳动仲裁
若劳动行政部门的处理结果仍不能令您满意，或者您希望直接通过法律途径解决争议，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁前，您需要做好以下准备：
收集证据：除了之前提到的劳动合同、工资单等证据外，您还可以收集同事证言、工作邮件、聊天记录等，以进一步证明您符合签订无固定期限劳动合同的条件以及公司未依法签订的事实。
提出仲裁请求：在仲裁申请书中，您需要明确提出要求公司与您签订无固定期限劳动合同，并根据《劳动合同法》的相关规定，要求公司支付从应当签订无固定期限劳动合同之日起至实际签订之日止的双倍工资差额。同时，根据您的具体情况，您还可以要求公司支付经济补偿金、赔偿金等。
参加仲裁庭审：在仲裁庭审过程中，您需要充分陈述自己的诉求和理由，出示相关证据，并对公司的答辩意见和证据进行质证。仲裁庭将会根据双方的陈述和提供的证据进行审理，并作出裁决。
五、提起诉讼
如果您对劳动仲裁的结果不满意，您可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要重新整理和补充证据，以支持自己的诉求。由于诉讼过程较为复杂，建议您寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保护。
六、注意事项
在整个维权过程中，您需要注意以下几点：
保留证据：确保所有与劳动关系及争议相关的证据都得到妥善保管，以便在需要时提供证明。
及时行使权利：注意仲裁时效和诉讼时效的规定，避免因超过时效而丧失维权机会。
保持冷静与理性：通过合法、合理的途径解决问题，避免采取过激行为或言论，以免对您的维权造成不利影响。
综上所述，如果公司在第三次续签劳动合同时拒绝签订无固定期限劳动合同，您可以通过了解法律规定、与公司协商、向劳动行政部门投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径来维护自己的合法权益。在整个过程中，请务必保留好相关证据，及时行使权利，并保持冷静与理性。