结论：员工未签订劳动合同，工作一个多月后主动离职，一般情况下没有经济补偿；但若因用人单位存在过错导致员工离职，员工可能获得经济补偿。以下为详细分析：
一、未签订劳动合同与经济补偿的关系
未签订劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定主要是为了惩罚用人单位的违法行为，并保障劳动者的权益。
- 然而，这一规定并未直接涉及员工主动离职时的经济补偿问题。
员工主动离职的经济补偿：
- 一般情况下，员工主动提出离职，且不存在用人单位过错的情况下，员工是无权获得经济补偿的。经济补偿通常是在用人单位存在过错，如未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等，导致员工离职时，员工才有权获得。
二、可能获得经济补偿的情形
用人单位存在过错：
- 如果员工离职是因为用人单位存在过错，如未提供必要的劳动条件、未按时支付工资、未缴纳社会保险等，员工在离职时可以要求用人单位支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常根据员工在用人单位的工作年限和月工资来确定。具体为：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。但在此案例中，由于员工仅工作一个多月，若因用人单位过错离职，可能仅能获得半个月工资的经济补偿（若满足相关条件）。不过，需注意的是，由于未签订劳动合同且工作时间较短，实际获得补偿的难度和金额可能因具体情况而异。
未签订劳动合同的特殊情况：
- 虽然未签订劳动合同本身不直接导致员工离职时获得经济补偿，但如果用人单位因此存在其他违法行为（如未缴纳社会保险等），且这些违法行为是导致员工离职的原因之一，员工在离职时仍有可能获得经济补偿。
三、建议与行动
对于员工：
- 如果员工认为用人单位存在过错导致自己离职，可以收集相关证据（如工作记录、工资单、同事证言等），并向当地劳动仲裁机构申请仲裁，要求用人单位支付经济补偿。
- 同时，员工也可以考虑与用人单位协商解决纠纷，以更快地获得补偿。
对于用人单位：
- 用人单位应尽快与员工签订书面劳动合同，以避免法律风险和潜在的纠纷。
- 如果员工已经离职且存在争议，用人单位应积极与员工沟通协商，寻求妥善解决方案。
四、注意事项
- 在处理此类纠纷时，双方应保持冷静和理性，避免情绪化行为导致纠纷升级。
- 如果双方无法协商解决纠纷，可以寻求法律援助或咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
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