若您与用人单位签订的每年九个月合同连续三年后不续签，根据不同情况，处理方式如下：
用人单位不续签的情况
- 经济补偿：根据《劳动合同法》第四十六条第五项规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，若用人单位不续签，您有权要求用人单位支付相应的经济补偿。
- 补偿计算：假设您每年工作九个月，连续三年，则工作年限应计算为三年（因为每年均超过六个月，按一年计算）。若您的月工资为X元，则经济补偿为3X元。
您不续签的情况
- 无经济补偿：若您主动提出不续签劳动合同，根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位无需向您支付经济补偿。
- 特殊情况：若用人单位在续签劳动合同时，降低原劳动合同约定的条件（如降低工资、变更工作地点等），导致您不同意续签的，用人单位仍需按照上述经济补偿的标准向您支付经济补偿。
合同到期未续签但继续工作的情况
- 视为续签：若劳动合同到期后，您继续在用人单位工作，而用人单位未表示异议的，根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条的规定，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但此时，您有权要求用人单位及时补签书面劳动合同，以避免产生不必要的法律风险。
- 双倍工资风险：若用人单位超过一个月未与您签订书面劳动合同的，根据《劳动合同法》第八十二条的规定，您有权要求用人单位支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资。
行动建议：
- 与用人单位协商：首先，您可以尝试与用人单位进行协商，了解不续签的具体原因，并争取达成双方都能接受的解决方案。
- 准备证据：无论您选择续签还是不续签，都建议您提前准备好相关的证据材料，如劳动合同、工资单、工作证明等，以备不时之需。
- 寻求法律援助：若您在处理此事过程中遇到任何法律问题或纠纷，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。