核心结论：医院以不办理辞退手续的方式辞退您属于违法行为，您有权通过法律途径维护自身权益，具体可从以下角度分析和处理。

1. 临时工身份不影响劳动关系认定

根据《劳动合同法》，无论是否签订书面合同、是否为“临时工”，只要您实际为医院提供劳动并接受管理，即构成事实劳动关系。您已工作十年，依法应视为签订无固定期限劳动合同的情形（即使未签书面合同，医院也需承担未签合同的双倍工资责任，但时效可能受限）。

关键点：医院无权以“临时工”为由规避法律责任，您享有与正式员工同等的劳动权益。

2. 医院不办理辞退手续属于违法行为

若医院单方面解除劳动关系，必须履行以下义务：

• 出具书面解除证明：根据《劳动合同法》第50条，用人单位应在解除劳动合同时出具证明，并在15日内办理档案和社会保险关系转移手续。
• 支付经济补偿：若医院无合法理由辞退（如您无严重过失），需支付经济补偿金（工作每满1年支付1个月工资）；若违法解除，需支付双倍赔偿金（即2个月工资/年）。

医院不办理手续的后果：您可主张医院继续履行合同或支付赔偿，同时可要求其补办手续，否则可能影响您后续就业或社保权益。

3. 您的维权步骤

（1）收集证据

• 证明劳动关系：工资条、考勤记录、工作证、同事证言、工作邮件等。
• 证明工作年限：银行流水（显示医院转账）、社保缴纳记录（如有）、工作证等。
• 证明辞退事实：录音、聊天记录、书面通知（如有）等。

（2）与医院协商

书面要求医院出具解除证明并支付补偿，明确告知其违法后果（如投诉或仲裁）。

（3）向劳动监察部门投诉

若协商无果，可向当地劳动保障监察大队投诉（通常免费），要求其责令医院改正并处罚。

（4）申请劳动仲裁

若投诉未解决，可在1年内向劳动仲裁委申请仲裁，主张：

• 确认医院违法解除；
• 支付经济赔偿金（20个月工资，按当地标准）；
• 补办离职手续；
• 补缴社保（如有欠缴）。

提示：仲裁不收费，流程约1-2个月，需提交仲裁申请书、证据材料。

4. 注意事项

• 时效性：劳动仲裁时效为1年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起算（建议尽快行动）。
• 避免被动离职：若医院未出具解除证明，您可继续要求上班，若被拒绝，保留证据（如录音、门禁记录）以证明医院违法。
• 社保问题：若医院未缴社保，可一并主张补缴（需向社保部门投诉）。

建议：先尝试与医院协商并留存证据，若协商无果，立即启动投诉或仲裁程序。如有具体证据或细节需要分析，可进一步向我说明，我会为您制定更详细的维权方案。