结论：在租房合同到期后没有续签合同，租客提前退租且没住满一个月的情况下，房东不愿意退还押金或相关费用，租客和房东应首先明确租赁关系性质，再依据实际情况和法律规定来处理。

一、明确租赁关系性质

1. 不定期租赁：根据《民法典》的相关规定，租房合同到期后，若承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，原租赁合同继续有效，但租赁期限变为不定期。在不定期租赁的情况下，双方均有权随时解除合同，但应当提前在合理期限内通知对方。这里的“合理期限”通常结合实际情况判断，对于居住用房，一般建议提前15-30天通知。

2. 合同条款：尽管合同可能已到期并转为不定期租赁，但原合同中的条款（如关于押金退还、提前退租的违约责任等）仍可能对双方具有约束力。因此，应详细查阅原租房合同，特别是关于退房、押金退还以及提前退租的条款。

二、处理提前退租与押金退还

1. 提前通知：租客应提前通知房东其提前退租的意愿，并尽量采用书面形式（如短信、邮件等）进行通知，以便保留证据。

2. 协商解决：租客应与房东就押金退还、租金结算等事宜进行协商。若租客能证明其已按照合同约定或租赁习惯履行了相关义务（如房屋清洁、设施完好等），且提前退租并非因其过错导致，那么房东应退还相应押金。

3. 押金退还规则：

   • 无损坏与欠费：若房屋无损坏，且租客已结清水、电、燃气等公共事业费用，房东应全额退还押金。
   • 有损坏或欠费：若房屋有损坏或租客未结清相关费用，房东有权从押金中扣除相应金额。但扣除的金额应合理，且房东应提供相关证据。

4. 争议解决：若双方无法就押金退还达成一致，租客可以收集相关证据（如租房合同、通知记录、房屋检查记录等），通过向人民调解委员会申请调解、向房地产管理部门投诉或向人民法院提起诉讼等方式来维护自身权益。

三、建议与注意事项

1. 保留证据：在整个过程中，租客应妥善保管所有与租房、退房相关的证据和文件，以便在发生争议时提供证明。

2. 友好沟通：尽管可能存在分歧，但租客和房东仍应尽量保持友好沟通，以寻求双方都能接受的解决方案。

3. 法律途径：若协商无果，租客不应放弃通过法律途径来维护自身权益。在提起诉讼前，租客可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议。

在处理此类问题时，租客和房东都应遵循法律规定和合同约定，以理性、友好的方式解决分歧。如果有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。