可以起诉父亲。针对您提出的问题，我们从以下几个方面进行详细分析：

一、法律责任角度

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这种义务是法定的，不因父母离婚而消除。即使孩子被判给父亲抚养，父亲仍然有义务为孩子提供必要的生活条件和教育环境。如果父亲不履行抚养义务，包括但不限于不提供生活费、教育费等，就构成了对法定抚养义务的违反。

二、起诉的法律依据和可行性

1. 法律依据：

   • 《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条：父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。
   • 这意味着，如果父亲不履行抚养义务，孩子（或其法定代理人，如母亲）有权向法院提起诉讼，要求父亲支付抚养费。

2. 起诉的可行性：

   • 在实际操作中，如果父亲不履行抚养义务，孩子（或其法定代理人）可以向法院提起民事诉讼，要求父亲支付拖欠的抚养费，并继续履行抚养义务。
   • 法院在受理此类案件后，会进行审理，并根据事实和法律规定作出判决。如果判决父亲支付抚养费而父亲仍不履行，法院还可以采取强制执行措施，如冻结银行账户、查封财产等。

三、奶奶给生活费的情况

虽然奶奶在提供生活费，但这并不能免除父亲作为法定抚养人的责任。奶奶的行为可能是出于亲情和关爱，但并不能替代父亲的法律义务。如果奶奶愿意继续提供生活费，这可以作为孩子生活的一部分保障，但并不能成为父亲不履行抚养义务的理由。

四、建议和后续行动

1. 收集证据：在起诉前，建议收集相关证据，如父亲不履行抚养义务的证明（如银行转账记录、聊天记录等）、孩子的生活费用支出明细等。
2. 咨询律师：在起诉前，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼策略。
3. 提起诉讼：在准备好相关证据和咨询律师后，可以向法院提起诉讼，要求父亲支付拖欠的抚养费，并继续履行抚养义务。

总结：针对您提出的问题，如果父亲不履行抚养义务，即使孩子被判给父亲抚养，您（或孩子的法定代理人）仍然有权向法院提起诉讼，要求父亲支付抚养费。奶奶给生活费的行为并不能免除父亲的法律责任。如果您需要进一步的法律帮助或咨询，请直接向我提问。