可以依据《中华人民共和国大气污染防治法》第八十一条对居民楼下的烧烤店提起诉讼或进行投诉，但需结合具体违法情形选择合适的法律途径。以下从法律条款、违法情形认定、维权途径三个角度展开分析：

一、法律条款的核心内容

《大气污染防治法》第八十一条明确规定：
“禁止在居民住宅楼、未配套设立专用烟道的商住综合楼以及商住综合楼内与居住层相邻的商业楼层内新建、改建、扩建产生油烟、异味、废气的餐饮服务项目。”
该条款的核心是场所合法性，即若烧烤店位于上述禁止区域内，无论其是否安装油烟净化设施，均构成根本性违法。

二、烧烤店可能存在的违法情形

1. 场所违法
   若烧烤店位于居民住宅楼底层或未配套专用烟道的商住综合楼内，直接违反第八十一条。例如，烟台开发区鑫发小区的案例中，烧烤店因所在建筑未设立专用烟道，被认定为根本性违法。

2. 排放违法
   即使场所合法，若烧烤店未安装或未正常使用油烟净化设施，导致油烟超标排放，则违反第一百一十八条，需承担罚款、停业整治等责任。

三、维权途径及法律依据

1. 向生态环境部门投诉（行政途径）

• 适用情形：烧烤店存在场所违法或排放违法。
  
• 法律依据：
  
  • 第八十一条：场所违法的，由县级以上地方政府确定的监督管理部门责令改正；拒不改正的，予以关闭并处一万元以上十万元以下罚款。
    
  • 第一百一十八条：排放违法的，责令改正，处五千元以上五万元以下罚款；拒不改正的，责令停业整治。
    
• 操作建议：
  向当地生态环境局提交书面投诉，附上烧烤店位置、违法证据（如照片、视频），要求依法查处。例如，荆州市生态环境局曾责令烧烤店清洗油烟净化器、搬离露天烤炉，并协调开发商整改烟道。

2. 提起民事诉讼（司法途径）

• 适用情形：烧烤店的油烟污染导致您人身或财产损害（如呼吸系统疾病、房屋价值贬损）。
  
• 法律依据：
  
  • 《民法典》第一千二百二十九条：因污染环境造成损害的，污染者应承担侵权责任。
    
• 操作建议：
  收集证据（如医疗记录、房屋价值评估报告、污染监测数据），向法院起诉要求烧烤店停止侵害、赔偿损失。需注意，民事诉讼需证明损害与污染行为存在因果关系。

3. 举报营业执照审批失职（行政监督）

• 适用情形：怀疑市场监管部门在审批烧烤店营业执照时，未审查场所是否符合第八十一条。
  
• 法律依据：
  《大气污染防治法》第八十一条属于强制性规定，营业执照审批应纳入审查范围。
  
• 操作建议：
  向当地市场监管部门或上级机关举报，要求调查审批流程是否存在失职。例如，烟台开发区案例中，投诉人曾质疑营业执照审批是否纳入第八十一条禁止条款。

四、关键提醒

1. 证据收集：维权前需固定证据，如污染现场照片、视频、医疗记录、房屋价值评估报告等。
   
2. 部门分工：生态环境部门负责污染查处，市场监管部门负责营业执照审查，需根据违法类型选择对应部门。
   
3. 法律程序：行政投诉效率较高，但执行力依赖部门态度；民事诉讼程序复杂，但赔偿力度更强。

总结：若烧烤店位于禁止区域，可优先通过生态环境部门投诉要求关闭；若造成损害，可同步提起民事诉讼；若怀疑审批失职，可举报市场监管部门。具体操作需结合违法情形和证据情况，建议根据实际选择最有效的途径。如有进一步问题，可直接向我咨询。