结论：楼下底商违规开烧烤店，是否可以起诉房东，需视具体情况而定，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：

1. 房东是否知情并同意：

   • 如果房东明知底商违规开烧烤店，且未采取任何措施制止或报告相关部门，那么房东可能存在一定的过错。在此情况下，若烧烤店的经营行为给您造成了损害（如噪音、油烟污染等），您有可能将房东和烧烤店经营者作为共同被告提起诉讼，要求他们承担相应的赔偿责任。
   • 如果房东对底商违规开烧烤店并不知情，或者知情后立即采取了制止措施并报告了相关部门，那么房东可能不承担直接责任。但您仍可以针对烧烤店经营者的违规行为提起诉讼。

2. 房东与烧烤店经营者的租赁合同关系：

   • 房东与烧烤店经营者之间的租赁合同关系，是判断房东是否应承担责任的重要因素。如果租赁合同中明确约定了底商的使用用途，且烧烤店的经营行为违反了该约定，那么房东有权依据合同要求烧烤店经营者承担违约责任。但这并不直接解决您作为相邻权人受到的损害问题。
   • 如果租赁合同中未明确约定底商的使用用途，或者约定不明确，那么房东可能因未尽到合理的审查义务而承担一定的责任。但具体责任大小，需根据实际情况和法律规定进行判断。

3. 相邻权保护：

   • 作为相邻权人，您有权要求底商的经营活动不得侵犯您的合法权益。如果烧烤店的经营行为（如噪音、油烟污染等）超出了合理范围，给您造成了损害，您有权要求烧烤店经营者停止侵害、排除妨碍、赔偿损失等。
   • 在此过程中，如果房东未尽到管理义务，如未及时制止烧烤店的违规行为或未协助您与烧烤店经营者协商解决纠纷等，您也可以考虑将房东作为共同被告提起诉讼。

法律建议：

• 在决定是否起诉房东前，建议您先收集相关证据，如烧烤店的经营行为对您造成的损害证据、房东是否知情并同意的证据等。
• 您可以先尝试与房东和烧烤店经营者进行协商，寻求和解或调解解决纠纷。如果协商无果，再考虑通过法律途径解决。
• 在提起诉讼前，建议您咨询专业律师（即我，秦菁莹律师，专注于刑事辩护、取保候审、律师会见、诈骗犯罪、经济犯罪、房产纠纷领域），以便更准确地评估案件情况和制定诉讼策略。

可能法律后果：

• 如果法院认定房东存在过错且应承担责任，那么房东可能需要与烧烤店经营者共同承担赔偿责任。
• 如果法院认定房东无过错或过错较小，那么房东可能不承担或仅承担部分责任。
• 无论结果如何，提起诉讼都需要一定的时间和精力投入，且可能面临一定的诉讼风险。因此，在决定是否起诉前，请务必谨慎考虑。