面对您已经付款并开具了发票，但对方却未签订合同且未支付款项的情况，您可以按照以下步骤来有效维护自己的权益：
一、首要任务：收集并保留证据
发票证据：请务必妥善保管好发票的原件以及所有复印件。发票上的详细信息，如交易内容、金额等，都是证明交易真实存在的直接且有力的证据。
沟通记录：整理并保存所有与对方的往来邮件、短信、微信聊天记录等。特别是那些涉及交易具体内容、价格确认、交付情况以及对方承诺付款的表述，这些都能为您的维权提供有力支持。
物流单据：如果交易涉及实物，那么送货单、收货单等物流凭证也是必不可少的。上面的签收记录能够直接证明货物已经交付给对方。
服务完成证明：对于服务类交易，您应保存好服务报告、工作成果交付记录等，以证明您已经按照约定提供了服务。
二、尝试友好沟通协商
选择沟通方式：您可以通过电话、面谈或者发送正式催款函等方式与对方进行沟通。催款函中应明确交易细节、发票金额、应付时间以及逾期情况，并设定一个合理的回复和付款期限。
记录沟通过程：无论是电话录音还是现场谈话，都应详细记录下来。如果对方在沟通中承认了欠款并给出了还款计划，这将极大地增强您的维权立场。
三、必要时采取法律途径
发送律师函：如果协商没有结果，您可以考虑委托律师向对方发送律师函。律师函会用专业的法律语言阐明对方的法律责任和后果，催促其尽快付款。同时，律师函也可以作为固定证据的手段，表明您已经开始积极主张自己的权利。
申请支付令：如果对方对欠款没有异议但就是拖延支付，根据《民事诉讼法》的规定，您可以向法院申请支付令，要求对方在规定期限内支付款项。如果对方既不提出异议又不履行支付令，您可以进一步申请强制执行。
提起诉讼：如果对方对欠款有争议或者支付令不适用，那么您需要向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼中，您需要提交充分的证据来证明自己的主张，并请求法院判决对方支付欠款以及可能产生的利息等损失。如果胜诉后对方仍不履行判决，您可以申请法院强制执行其财产。
综上所述，面对无合同但已开发票且对方未付款的情况，您应首先努力收集证据，并尝试通过友好沟通来解决。如果协商不成，那么您应及时寻求法律帮助，通过律师函、支付令申请或者提起诉讼等途径来有效维护自己的合法权益。