对于没有签订合同的农民工在工作期间生病住院和养病期间的工资问题，我们可以从以下几个方面来详细解答：

首先，即使农民工与雇主没有签订正式的劳动合同，但如果存在事实劳动关系，农民工仍然享有一定的劳动权益。事实劳动关系的存在可以通过工作证、考勤记录、工资支付凭证等多种证据来证明。

其次，在医疗期内，单位不能随意解除与农民工的劳动关系。这是为了保障劳动者在生病或受伤期间的合法权益，避免因其暂时无法工作而被解雇。如果单位违法解除了劳动关系，农民工有权要求赔偿金，赔偿金额通常按照工作年限来计算，每满一年赔偿两个月工资。

关于工资支付问题，如果农民工因病不能工作，在医疗期内，单位应当按照相关规定支付其病假工资或者疾病救济费。具体支付标准和方式可能因地区和具体政策而有所不同，但通常会根据农民工的工龄、工资水平以及病假时间等因素来确定。

此外，如果农民工的生病与工作有关，例如是由于工作环境恶劣、工作强度过大等因素导致的，那么农民工还有权要求单位承担相应的医疗费用和其他赔偿责任。这需要农民工提供充分的证据来证明生病与工作之间的因果关系。

最后，如果农民工与单位之间就工资支付、医疗费用承担等问题产生争议，可以先尝试通过协商解决。协商不成的，农民工可以向当地的劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

综上所述，没有签订合同的农民工在工作期间生病住院和养病期间的工资问题，应当根据事实劳动关系的存在、医疗期的规定以及生病与工作之间的因果关系等因素来综合考虑。农民工应当了解自己的合法权益，并在必要时采取适当的措施来维护自己的利益。