首先，根据你所描述的情况，公司未与你签订劳动合同且未购买社会保险，这违反了《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。关于你可以获得的赔偿，我会从以下几个方面进行详细分析：
未签订劳动合同的双倍工资赔偿：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，你有权要求公司支付你7个月的双倍工资作为赔偿（因为你已经上了8个月的班，扣除第一个月的宽限期）。
未购买社会保险的补偿：
- 公司未为你购买社会保险，这违反了《社会保险法》的规定。虽然直接的经济赔偿可能较为复杂，且通常需要通过社保部门或劳动仲裁机构来追缴，但你可以要求公司补缴这8个月的社会保险费用，或者要求公司支付相应的经济补偿。
被辞退的经济补偿：
- 如果公司无故辞退你，且没有合法的解雇理由（如严重违反公司规章制度、不能胜任工作等），那么公司可能需要支付你经济补偿金。经济补偿金的计算通常基于你在公司的工作年限和月工资水平。具体数额需要根据实际情况来确定。
综上所述，你可以向公司主张的赔偿包括：7个月的双倍工资、社会保险的补缴或经济补偿，以及可能的经济补偿金（如果被无故辞退）。然而，具体的赔偿数额和方式需要通过与公司的协商、劳动仲裁或诉讼来确定。
我建议你首先尝试与公司进行协商，看是否能够达成赔偿协议。如果协商无果，你可以向当地的劳动仲裁委员会提起劳动仲裁，或者向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。在整个过程中，我都会为你提供专业的法律支持和建议。