针对您提出的问题“自己摔倒单位可以开除员工吗”，以下是对此问题的详细解答：

一、核心答案

员工自己摔伤后，单位通常不能随意辞退。若员工在法定医疗期内，单位不能以无过失性辞退和经济性裁员为由解约，否则属于违法，员工有权要求单位继续履行合同或支付双倍赔偿。

二、详细分析

1. 医疗期内的保护：

   • 当员工因个人意外摔伤而处于法定医疗期内时，根据法律规定，单位是不能辞退员工的。这是为了保障员工在患病或负伤期间能够得到合理的治疗、休息和恢复，同时也是基于保护劳动者基本权益的原则。

2. 医疗期满后的处理：

   • 如果员工摔伤后经过治疗已经恢复，且能正常履行工作职责，单位不能以曾经摔伤为由进行辞退。
   • 若员工医疗期满既不能从事原工作，也无法从事单位另行安排的工作，单位在提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，可以解除劳动合同，但需依法支付经济补偿。

3. 违法辞退的后果：

   • 如果单位没有遵循上述规定而随意辞退员工，属于违法辞退。员工可以要求单位继续履行劳动合同，或者要求单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

三、实际案例

以小许为例，他在工作时自己不慎摔伤。在他处于法定医疗期内时，公司以其受伤无法正常工作为由将其辞退。根据法律规定，公司在小许法定医疗期内将其辞退是违法的。因此，小许有权要求公司继续履行劳动合同，或要求公司按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

四、建议

对于员工而言，如果遭遇类似情况，应首先了解自己的权益和法律规定，与单位进行沟通协商。如果单位坚持违法辞退，员工可以依法向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，维护自己的合法权益。

综上所述，员工自己摔伤后，单位不能随意辞退。在法定医疗期内，单位更不能以无过失性辞退和经济性裁员为由解约。员工应了解自己的权益，并在必要时依法维护自己的合法权益。