结论前置：单位在三次固定合同共签订五年后，员工继续正常上班六年却没有再签合同，这种情况很可能构成事实劳动关系，单位应当与员工签订无固定期限劳动合同，并且有可能需要承担未签合同的法律责任。

分析说明：

1. 事实劳动关系的认定：

   • 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。在你所描述的情况下，员工在合同期满后继续正常上班了六年，期间单位未再与员工签订书面劳动合同，因此，这六年很可能被视为单位与员工建立了事实劳动关系。

2. 无固定期限劳动合同的签订：

   • 既然构成了事实劳动关系，并且已经超过了法律规定的“满一年”的期限，那么单位就应当与员工签订无固定期限劳动合同。如果单位拒绝签订，员工有权向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，要求单位承担相应的法律责任。

3. 未签合同的法律责任：

   • 单位未与员工签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》的规定，单位可能需要向员工支付双倍的工资作为赔偿，但这一责任有具体的时效限制，即从用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日。在你所描述的情况下，由于已经过去了多年，员工可能无法主张全部时段的双倍工资赔偿，但仍有权要求单位承担其他相应的法律责任，如补签劳动合同、补缴社会保险等。

4. 员工权益保护：

   • 员工应当积极维护自己的合法权益，如果单位拒绝签订无固定期限劳动合同或拒绝承担未签合同的法律责任，员工可以通过法律途径来维护自己的权益。建议员工先与单位进行协商，协商不成再向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。

综上所述，单位在三次固定合同共签订五年后，员工继续正常上班六年却没有再签合同，这种情况很可能构成事实劳动关系，并且单位应当承担未签合同的法律责任。员工应当积极维护自己的合法权益，如果遇到困难，可以寻求专业律师的帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。