在司机全责且不幸死亡的情况下，雇主需要承担的赔偿责任并非固定数额，而是受多种因素影响，包括司机是否在执行工作任务、司机的过失程度、雇佣关系的性质以及是否存在第三人的责任等。以下是对这一问题的详细分析：
结论前置：雇主的具体赔偿责任需根据案件实际情况和相关法律规定综合判断，可能包括丧葬费、死亡赔偿金、被扶养人生活费等多项费用。
一、赔偿责任的判定
是否执行工作任务：
- 若司机是在执行工作任务过程中发生交通事故并死亡，雇主通常需承担主要赔偿责任。赔偿范围可能包括医疗费（如有）、丧葬费、死亡赔偿金、被扶养人生活费等合理费用。
- 若司机并非在执行工作任务期间发生事故，雇主一般无需承担责任，但存在特殊情况，如车辆管理存在过错，雇主可能根据其过错程度承担较小比例的赔偿责任。
司机的过失程度：
- 司机的过失程度直接影响雇主的责任大小。若司机存在故意或重大过失，雇主的责任可能会相应减轻，但雇主在大多数情况下仍需承担一定比例的赔偿责任。
雇佣关系的性质：
- 明确的雇佣关系下，雇主责任更大。但若双方签订的是其他形式的合同，如承揽合同，需根据事实情况判断双方是否存在实质上的雇佣关系，以确定雇主的具体责任。
第三人的责任：
- 若司机的死亡是由第三人造成的，并且第三人承担全部或部分责任，雇主在赔偿后有权向第三人追偿。
二、赔偿项目与计算
丧葬费：
- 按照受诉法院所在地上一年度职工月平均工资标准，以六个月总额计算。
死亡赔偿金：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，死亡赔偿金按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入标准，按二十年计算。六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算。
被扶养人生活费：
- 如果死者生前有扶养的无劳动能力的人，需支付被扶养人的生活费。费用按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均消费支出标准计算，具体年限根据被扶养人的年龄和扶养人数确定。
其他费用：
- 可能还包括交通费、住宿费等因处理交通事故和死者善后事宜而产生的必要支出。
三、特殊情况处理
- 若司机与雇主之间存在劳动关系，且司机的死亡被认定为工伤，则雇主需按照工伤保险规定承担赔偿责任。
- 若车辆或司机购买了相应的保险，如交强险、商业险等，保险公司可能承担一定的赔付责任，这可以在一定程度上减轻雇主的赔偿负担。
四、建议与总结
面对此类问题，建议雇主和受害人家属首先协商解决。协商不成时，受害人家属可向法院提起诉讼。同时，也建议双方咨询专业律师以获取最准确、最新的法律信息，并确保自身合法权益得到维护。总之，司机全责死亡时雇主的责任大小需根据实际情况和相关法律规定综合判断，赔偿项目与数额也需根据具体情况进行计算。