结论：公司提出不续签劳动合同，员工在一般情况下不能直接拒绝并要求公司必须续签，但具体情形需根据劳动合同类型及是否存在特殊约定来分析。
一、固定期限劳动合同到期情形
公司提出不续签：
- 当固定期限劳动合同期满时，公司有权选择是否与员工续签劳动合同。若公司决定不续签，则劳动合同到期即行终止。此时，公司需要按照法律规定向员工支付经济补偿金，补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。
- 员工角度：员工不能直接拒绝公司的不续签决定，但可以要求公司支付相应的经济补偿金。若公司拒绝支付，员工可以通过法律途径维护自己的权益。
员工提出不续签：
- 员工同样有权选择不续签劳动合同，这是员工的合法权利。公司应尊重员工的选择，并及时办理劳动合同终止的相关手续，如结清工资等。在此情况下，公司无需支付经济补偿金，除非存在公司维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意续订的特定情形。
二、无固定期限劳动合同情形
- 无固定期限劳动合同通常不存在到期续签的问题，但在某些特定情形下（如员工在用人单位连续工作满十年等），员工有权要求签订无固定期限劳动合同。若员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，且提出或同意续订劳动合同，除员工主动要求订立固定期限劳动合同外，公司应与其订立无固定期限劳动合同。
- 公司拒绝签订：若公司拒绝签订无固定期限劳动合同，则构成违法行为。员工有权要求公司支付双倍工资的赔偿，并可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径维护自己的权益。
三、服务期协议情形
- 若公司与员工签订了服务期协议，并为其提供了专项培训费用及专业技术培训，且约定了服务期限。在服务期内，即使劳动合同到期，但服务期尚未届满的，劳动合同应自动续延至服务期满。
- 员工提出不续签：在此期间，若员工提出不续签劳动合同，公司有权拒绝，并且若员工违反服务期约定，还需按照协议约定向公司支付违约金。违约金的数额不得超过公司提供的培训费用，且不得超过服务期尚未履行部分所应分摊的培训费用。
四、应对策略与建议
与公司协商：
- 员工应主动与公司沟通，了解公司不续签的具体原因，尝试通过友好协商解决误解或问题。
- 保留协商过程中的证据，如聊天记录、邮件等，以备后续需要。
寻求法律帮助：
- 若协商不成，员工可以咨询专业律师（即我，张启波律师，专注于合同纠纷、劳动纠纷领域），了解自己的权益和可能的法律途径。
- 根据律师的建议，员工可以选择申请劳动仲裁或提起诉讼来维护自己的权益。
准备证据材料：
- 在整个过程中，员工应准备充分的证据材料，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以证明劳动关系及工作情况。
总结与建议：面对公司提出不续签劳动合同的情况，员工应首先了解自己的权益和法律规定，然后尝试与公司协商解决。若无法达成一致，应及时寻求法律帮助并准备充分的证据材料来维护自己的权益。在整个过程中，保持冷静和理性至关重要，以确保能够有力地支持自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。