在解答您关于“员工第二次合同到期后公司是否可以提出不续签”的问题时，我们首先要明确的是，这主要涉及到《劳动合同法》中关于无固定期限劳动合同订立的相关规定。

核心结论：在员工与公司连续订立二次固定期限劳动合同后，若员工没有严重违反公司规章制度等法定过错情形，且未因工负伤、不能胜任工作等特定法定情形，同时员工提出或同意续订劳动合同且未要求订立固定期限劳动合同的，公司一般情况下不能拒绝与员工续签无固定期限劳动合同。若公司选择不续签，则需依法支付经济补偿金，并确保整个决策过程的合法性和公正性。

详细解释：

1. 无固定期限劳动合同的订立条件：

   • 根据《劳动合同法》的规定，当员工与公司连续订立二次固定期限劳动合同后，若满足一定条件（如员工无严重过错、非因工负伤或不能胜任工作等特定情形），且员工提出或同意续订劳动合同，同时未明确要求订立固定期限劳动合同的，公司应当与员工订立无固定期限劳动合同。

2. 公司不续签的法律后果：

   • 如果公司违反上述规定，拒绝与员工续签无固定期限劳动合同，那么公司的行为将构成违法。员工有权要求公司支付违法终止劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿标准的二倍。

3. 公司可以提出不续签的特定情形：

   • 尽管在一般情况下公司不能拒绝续签无固定期限劳动合同，但在特定情况下，如员工严重违反公司规章制度、劳动合同期满但员工开始依法享受基本养老保险待遇等法定情形下，公司可以选择不续签劳动合同。

4. 经济补偿金的支付：

   • 如果公司决定不再与员工续签合同，应在合同期满前通知员工，并按照法律规定支付经济补偿金。经济补偿金的具体标准通常依据员工在公司的工作年限和月工资来确定，以确保员工的合法权益得到保障。

5. 决策过程的合法性和公正性：

   • 公司在决定是否续签合同时，必须确保决策过程的合法性和公正性。这包括对员工的工作表现、工作态度、工作能力等方面进行全面、客观的评价，以及充分考虑公司的经营需要和发展战略。避免因不当处理而引发法律纠纷、损害公司声誉或侵犯员工合法权益的情况发生。

综上所述，公司在处理员工第二次合同到期后的续签问题时，应充分了解并遵守《劳动合同法》的相关规定，平衡好公司利益与员工权益之间的关系，确保决策过程的合法性和公正性。如果公司决定不续签合同，应依法支付经济补偿金，并妥善处理后续事宜。