针对您提出的“第二次合同到期公司可以不续签吗”这一问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、一般情况下，公司有权选择不续签，但需支付经济补偿
在第二次劳动合同到期时，公司作为用人单位，在法律上是有权选择不续签劳动合同的。然而，这并不意味着公司可以无条件地终止劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果公司选择不续签，那么它需要向劳动者支付相应的经济补偿。经济补偿的标准通常是按照劳动者在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
二、特定情况下，公司不续签可能构成违法
尽管公司有权选择不续签劳动合同，但在某些特定情况下，这种不续签的行为可能构成违法。具体来说，如果劳动者在该用人单位连续工作满十年，或者已经连续订立了二次固定期限劳动合同，并且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的过错情形（如严重违反规章制度、不能胜任工作等），那么劳动者有权要求公司续签无固定期限劳动合同。在这种情况下，如果公司拒绝续签，就构成了违法行为。
三、劳动者应如何应对公司不续签的情况
与公司沟通协商：在劳动合同到期前，您可以主动与公司的人力资源部门或上级领导进行沟通，表达您希望续签劳动合同的意愿，并了解公司的具体想法和原因。
收集并整理证据：如果公司拒绝续签，您应收集并整理好所有与劳动关系相关的证据，包括劳动合同、工资条、工作记录、考勤记录等，以备后续可能的法律程序。
寻求法律救济：如果公司的不续签行为构成违法，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁、提起诉讼来维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁或提起诉讼时，您应明确提出要求公司续签劳动合同或支付赔偿金的请求，并详细阐述事实和理由。
四、关于赔偿金的计算
如果公司最终未能与您续签劳动合同，且构成违法解除或终止劳动合同的情形，您有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍，即按照您在本单位工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准向您支付；六个月以上不满一年的，按一年计算，支付两个月工资；不满六个月的，则向您支付一个月工资的赔偿金。
综上所述，第二次劳动合同到期时，公司有权选择不续签，但需支付经济补偿；在特定情况下，公司不续签可能构成违法，劳动者有权要求公司续签或支付赔偿金。因此，在面对这种情况时，建议您先与公司进行沟通协商，了解公司的具体想法和原因；如果协商无果，再考虑寻求法律救济来维护自己的合法权益。