结论概述：当第三方合同到期但劳动者仍在用工单位上班时，涉及的法律关系及后续处理方式较为复杂，主要取决于劳动合同的具体性质及实际用工情况。以下是对此问题的详细分析：
一、法律关系分析
劳务派遣关系：
- 在劳务派遣的情境下，劳动者与劳务派遣公司（即第三方）签订劳动合同，并被派遣至用工单位工作。
- 若劳动合同到期后未续签，原则上劳动者与劳务派遣公司的劳动关系终止。但若劳动者仍在用工单位继续工作，可能形成事实上的劳动关系延续。
实际用工情况：
- 无论劳动合同是否续签，劳动者继续在用工单位工作的事实，可能使得双方之间形成新的或延续的劳动关系。
- 这种关系可能不受原劳动合同条款的约束，但双方仍需遵守劳动法律法规的相关规定。
二、可能存在的法律风险
对劳动者的风险：
- 未签订书面劳动合同期间，劳动者的工资支付、社保缴纳等权益可能得不到明确保障。
- 若发生工伤或劳动争议，劳动者可能因缺乏书面合同而难以有效维权。
对用工单位的风险：
- 使用未签订劳动合同的劳动者可能违反《劳动合同法》的相关规定，面临行政处罚的风险。
- 若劳动者主张双倍工资差额等权益，用工单位可能需要承担连带责任。
对劳务派遣公司的风险：
- 未及时办理劳动合同续签或解除手续，可能导致劳动纠纷和法律诉讼，影响公司声誉和运营。
三、处理建议
立即与劳务派遣公司沟通：
- 了解劳动合同到期的具体原因和后续处理方案，包括是否续签、解除或变更劳动合同。
- 要求劳务派遣公司尽快办理相关手续，明确双方的权利和义务。
与用工单位协商：
- 明确在劳动合同到期后的工作期间内，双方的权利和义务，包括工资支付、社保缴纳、工作内容等。
- 协商签订新的劳动合同或补充协议，以规范劳动关系，保障双方权益。
保留相关证据：
- 保存好工资条、考勤记录、工作证等证据材料，以备不时之需。这些证据在发生劳动争议时将起到关键作用。
注意时效问题：
- 根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。因此，劳动者应及时维护自己的合法权益，避免超过时效期间。
四、特殊情况处理
若劳务派遣公司拒绝续签或解除劳动合同：
- 劳动者可向当地劳动监察部门投诉举报，或申请劳动仲裁以维护自己的合法权益。
- 用工单位应确保与劳务派遣公司的沟通顺畅，避免因劳务派遣公司的问题而承担连带责任。
若用工单位希望继续使用劳动者：
- 用工单位应与劳务派遣公司协商续签劳动合同或签订新的劳务派遣协议。
- 若用工单位希望直接与劳动者签订劳动合同，则需与劳务派遣公司办理好劳动者的人事交接手续，并确保符合相关法律法规的规定。
总结与建议：面对第三方合同到期但仍在用工单位上班的情况，劳动者、用工单位和劳务派遣公司均应积极沟通、协商处理，并保留好相关证据材料。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供针对性的法律建议。