结论前置：当单位合同到期后员工仍在继续工作，双方形成了事实劳动关系。为避免法律风险，用人单位应及时与劳动者续签书面劳动合同；劳动者也有权要求续签合同并保障自身权益。若未及时续签，根据具体情况，双方可能面临支付双倍工资或经济补偿等法律后果。

对劳动者而言

1. 权益保障

   • 要求续签合同：劳动合同期满后，若劳动者继续在用人单位工作且用人单位未表示异议，原劳动合同继续有效，但劳动期限变为不定期。劳动者有权要求用人单位续签书面劳动合同，明确双方权利义务。例如，员工小张的合同到期后，他继续在公司工作，公司未提出异议，此时小张可以要求公司续签书面合同，以明确新的工作期限、岗位、薪资等具体内容。
   • 主张双倍工资：若用人单位自劳动合同期满后超过一个月不满一年未与劳动者续订书面劳动合同，劳动者可以要求用人单位支付双倍工资。计算期从期满后的第二个月起开始，最多支付11个月。假设员工小李的合同于2023年1月1日到期，他继续在公司工作，但公司直到2023年3月1日仍未与他续签书面合同，那么小李有权要求公司支付2023年2月1日至2023年3月1日期间的双倍工资差额。
   • 考虑离职补偿：若用人单位拒绝续签劳动合同（除非用人单位维持或提高劳动条件而劳动者不同意续签），终止固定期限劳动合同的，用人单位应向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。例如，员工小王在公司工作了3年6个月，合同到期后公司拒绝续签，那么公司应支付小王4个月工资作为经济补偿。
   • 特殊情况处理：如果用人单位降低了原先较为优越的劳动条件，劳动者不愿意续订新的劳动合同，有权主张得到相应的经济补偿。比如，公司原本为员工提供的是办公室岗位，合同到期后想将员工调至车间岗位，且薪资有所降低，员工拒绝续签的，可以要求公司支付经济补偿。

2. 操作流程

   • 保存证据：妥善保存能证明自己与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资条、工作邮件等，以备后续主张权益之需。例如，员工小赵可以定期打印自己的考勤记录，保存好工资条，这些证据在后续可能发生的劳动纠纷中会起到关键作用。
   • 沟通协商：首先尝试与用人单位友好沟通，明确表达对续签合同的诉求。若协商达成一致，及时签订书面合同。比如，员工小陈可以主动找公司的人力资源部门负责人沟通，说明自己希望续签合同的意愿，并就合同的具体条款进行协商。
   • 提醒单位续签：若用人单位未及时提起续签事宜，劳动者可以主动提醒用人单位尽快续签劳动合同。例如，员工小周可以在合同到期前一个月左右，以书面形式提醒公司续签合同，避免出现未及时续签的情况。
   • 申请劳动仲裁：若与用人单位协商不成，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。申请时需提交仲裁申请书及相关证据材料。比如，员工小吴与公司就续签合同问题协商无果后，可以向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，附上自己保存的相关证据，要求公司支付双倍工资或经济补偿等。

对用人单位而言

1. 法律责任

   • 及时续签或终止合同：合同到期后，用人单位如果希望继续留用劳动者，应在一个月内与劳动者续签书面劳动合同；若不打算留用，应在合同期满前明确通知劳动者终止劳动合同，并办理相关离职手续。否则，将面临支付双倍工资等法律风险。例如，某公司在员工合同到期后，既未与员工续签合同，也未通知员工终止合同，员工继续工作了几个月后，公司被要求支付这段时间的双倍工资差额。
   • 协商合同内容：如果原合同的主要条款有较大改变，双方应重新协商签订新的劳动合同；若变动不大，可以签订《延续劳动合同协议书》，并明确延续的期限及其他需重新确定的合同条款。比如，公司因为业务调整，需要改变员工的工作岗位，那么在与员工续签合同时，就需要就新的工作岗位、薪资等条款进行重新协商。
   • 支付双倍工资和经济补偿：若用人单位超过一个月未与劳动者续签书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资。在特定情形下终止固定期限劳动合同，用人单位还需按照法律规定向劳动者支付经济补偿。例如，公司超过一个月未与员工续签合同，被要求支付双倍工资；或者公司因自身原因终止与员工的固定期限劳动合同，且不符合不支付经济补偿的情形，那么公司需要向员工支付相应的经济补偿。

2. 操作流程

   • 评估员工情况：在劳动合同到期前，对员工的工作表现、岗位需求等进行综合评估，确定是否续签合同。比如，公司可以组织相关部门对员工进行绩效考核，根据考核结果决定是否与员工续签合同。
   • 通知员工：根据评估结果，及时以书面形式通知员工续签或终止劳动合同，并明确相关事项，如续签合同的具体条款、终止合同的日期等。例如，公司决定与员工续签合同，可以向员工发送书面通知，告知员工续签合同的期限、岗位、薪资等具体内容；若决定终止合同，也应书面通知员工终止合同的日期，并告知员工办理离职手续的相关事宜。
   • 办理手续：续订劳动合同后，用人单位应将双方重新签订的劳动合同或《延续劳动合同协议书》送有管辖权的劳动鉴证机构进行鉴证，并到社会保险经办机构办理社会保险延续手续。若终止合同，则需为员工办理离职手续，包括出具离职证明、办理社保减员等。比如，公司与员工续签合同后，将合同送劳动鉴证机构进行鉴证，并到社保经办机构为员工办理社保延续手续；若终止合同，为员工出具离职证明，办理社保减员等，确保员工的社保关系得到妥善处理。

综上所述，当单位合同到期而员工仍在继续工作时，双方应尽快明确续签意向并办理相关手续，以确保各自权益得到保障。若出现纠纷，可依据《中华人民共和国劳动合同法》、《中华人民共和国劳动合同法实施条例》、《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》等相关法律法规进行维权和处理。有问题可以直接向我咨询。