公安机关终止调查的法律依据主要来源于《公安机关办理行政案件程序规定》以及《刑事诉讼法》和《公安机关办理刑事案件程序规定》中关于撤销案件的相关规定，具体情形如下：

一、行政案件中的终止调查

在行政案件中，公安机关终止调查的法律依据是《公安机关办理行政案件程序规定》第二百五十九条。该条款明确规定了行政案件终止调查的四种情形：

1. 没有违法事实：如果经过调查，发现案件中不存在违法事实，那么公安机关应当终止调查。
2. 违法行为已过追究时效：如果违法行为已经超过了法律规定的追究时效期限，那么公安机关也不再继续调查。
3. 违法嫌疑人死亡：如果违法嫌疑人已经死亡，那么对其的调查自然无法继续，公安机关应当终止调查。
4. 其他需要终止调查的情形：这是一个兜底条款，涵盖了其他所有需要终止调查的情形，如案件涉及国家秘密、个人隐私等，或者调查过程中发现案件不属于公安机关管辖范围等。

二、刑事案件中的终止调查（撤销案件）

在刑事案件中，虽然直接的法律术语是“撤销案件”而非“终止调查”，但实质上，当公安机关在侦查过程中发现不应对犯罪嫌疑人追究刑事责任时，会作出撤销案件的决定，这相当于终止了对该犯罪嫌疑人的调查。其法律依据主要包括：

1. 《刑事诉讼法》第一百六十三条：该条款规定，在侦查过程中，如果发现不应对犯罪嫌疑人追究刑事责任的情形，应当撤销案件。这些情形包括没有犯罪事实、犯罪情节显著轻微不需要追究刑事责任、特赦令免除刑罚、依照刑法告诉才处理的犯罪且没有告诉或撤回告诉、犯罪嫌疑人或被告人已死亡以及其他法律规定免予追究刑事责任的情形。
2. 《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百八十六条：该条款进一步细化了撤销案件的具体条件和程序，如没有犯罪事实、情节显著轻微危害不大不认为是犯罪、犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、犯罪嫌疑人死亡以及其他依法不追究刑事责任的情形等。

三、终止调查的法律意义与实际应用

终止调查制度的设立，旨在确保公安机关在处理案件时能够依法、及时地终结不符合继续调查条件的案件。这不仅可以提高行政或刑事效率，避免司法资源的浪费，还可以保障当事人的合法权益不受侵犯。在实际应用中，公安机关会严格依据相关法律法规，结合案件的具体情况，作出是否终止调查的决定。

建议与提醒：

• 如果您或您身边的人遇到了公安机关终止调查的情况，且对终止调查的决定有疑问或不满，可以及时向公安机关提出复议申请或寻求法律帮助。
• 在处理此类法律问题时，建议咨询专业律师以获取更具体、更个性化的法律建议。作为封国强律师，我专注于刑事辩护、经济犯罪等领域，如果您有相关法律问题，可以直接向我咨询。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。