结论：针对您描述的情况，即私企员工领取了三个月工资但只工作了一个半月就离职，且未签订劳动合同，您可以通过法律途径来维护自己的权益，主要涉及追回多支付的工资以及可能因未签劳动合同而产生的法律责任问题。
一、追回多支付的工资
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，不当得利是指没有合法根据，使他人受到损失而自己获得了利益。在此情况下，员工多领取的工资即属于不当得利。
操作建议：
- 您应首先尝试与员工进行协商，要求其退还多领取的工资。
- 如果协商无果，您可以收集相关证据（如工资支付记录、员工出勤记录等），向法院提起民事诉讼，要求员工返还不当得利。
二、未签劳动合同的法律责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
操作建议与风险分析：
- 风险：由于您未与员工签订劳动合同，根据法律规定，您可能需要支付员工未签合同期间的双倍工资差额（即除已支付工资外，再支付一个月工资作为赔偿）。但这一责任通常限于员工实际工作期间，对于员工未工作却领取的工资部分，不适用此规定。不过，具体责任还需根据当地法院的裁判观点和具体案情来确定。
- 建议：
- 立即与员工补签劳动合同（如果员工愿意继续工作），以规避未来可能因未签合同而产生的法律风险。
- 如果员工不愿意继续工作或已离职，您应评估是否需要支付双倍工资差额，并考虑与员工协商解决或准备应对可能的法律诉讼。
- 在未来，务必确保与所有员工签订书面劳动合同，以避免类似法律风险。
三、综合建议
- 收集证据：无论选择哪种途径解决，都应首先收集并保存好所有相关证据，如工资支付记录、员工出勤记录、工作交接记录等。
- 法律咨询：在处理此类问题时，建议您咨询专业律师（即我，李林华律师，专注于建设工程、工伤赔偿领域，也处理劳动纠纷案件），以确保您的权益得到充分保护。
- 协商与诉讼：在尝试协商无果后，您可以考虑通过法律途径解决争议。在此过程中，请遵循法律程序，并准备好应对可能的法律诉讼。
如果您有任何进一步的问题或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询。