公办老师做兼职口才老师是否会被开除，主要取决于兼职行为是否违反法律法规、政策规定、学校的规章制度以及是否影响本职工作。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律法规和政策层面：

   • 依据《事业单位工作人员处分暂行规定》，若公办教师的兼职行为违反国家法律、法规，情节严重的可能会给予开除处分。
   • 《中华人民共和国教师法》也规定教师应履行完成教育教学工作任务的义务，校外兼职若被视为违反这一义务，也可能面临相应的处分。

2. 学校规章制度层面：

   • 公办教师通常需遵守学校的规章制度，若学校明确规定不允许教师从事校外兼职，那么违反这一规定也可能导致开除。
   • 即使学校规章制度未明确禁止兼职，但若兼职行为严重影响本职工作，如导致教学质量下降、无法完成学校任务等，也可能被视为违反劳动纪律而面临开除。

3. 兼职性质与影响：

   • 如果兼职内容与教育教学工作紧密相关，且有助于提升教学质量，如参与教育相关的科研项目或培训活动，可能不会被视为违规行为。
   • 然而，如果兼职是出于营利目的，特别是与自己所教学生参与的校外培训机构有关，那么这种兼职行为很可能被视为违规，并可能面临严重的纪律处分，包括开除。

综上所述，公办老师在做兼职口才老师之前，应充分了解相关法律法规、政策规定以及学校的规章制度，确保兼职行为的合法性和合规性。同时，也要注重保护自身权益，避免因兼职而引发不必要的法律风险。如果兼职行为确实存在违规风险，建议谨慎考虑或寻求学校的明确许可。