结论：您因父母生病请假半年被老板开除，这一行为可能涉及违法解除劳动合同，您有权要求公司支付赔偿金或继续履行合同，具体取决于您的选择和实际情况。以下是对此问题的详细分析：
一、公司开除行为的合法性分析
医疗期规定：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，企业应根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定期限的医疗期。医疗期内，企业不得解除劳动合同。
- 医疗期的具体期限根据员工的工作年限而定，从3个月到24个月不等。若您请假半年仍在医疗期内，公司开除您则属于违法解除。
违法解除的后果：
- 若公司违法解除劳动合同，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿金的两倍。经济补偿金根据您在公司的工作年限和月工资计算。
- 或者，您也可以选择要求公司继续履行劳动合同，恢复您的职位和工资待遇。
二、您的权利与应对措施
收集证据：
- 您需要收集能够证明您与公司存在劳动关系、您请假的原因及期限、公司开除您的通知等相关证据。这些证据将有助于您在后续的法律程序中维护自己的权益。
与公司协商：
- 在采取法律行动之前，您可以尝试与公司进行协商，寻求和解。您可以向公司说明您的实际情况和医疗期的规定，要求公司撤销开除决定或给予合理的赔偿。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁过程中，您需要提交相关证据，证明公司的开除行为违法，并要求仲裁委员会裁决公司支付赔偿金或继续履行合同。
提起诉讼：
- 若对劳动仲裁结果不满，您还可以向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要继续提供证据支持自己的主张，并接受法院的审理和判决。
三、注意事项
及时行动：
- 劳动争议的解决有一定的时效限制，您需要在知道或应当知道自己的权益被侵害之日起一年内申请劳动仲裁或提起诉讼。因此，请务必及时采取行动，以免错过维权时机。
寻求专业帮助：
- 劳动争议的处理涉及复杂的法律程序和规定，建议您在处理过程中寻求专业律师的帮助。律师可以为您提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助您更好地维护自己的权益。
最后，我理解您现在可能面临很大的压力和困扰，但请相信法律会为您的权益提供保障。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询，我会尽我所能为您提供专业的法律支持。