结论：员工才来几天没签合同就受伤了，这种情况仍然可能构成工伤，用人单位需要承担相应的工伤赔偿责任。以下从多个角度进行详细分析：

一、工伤认定的基本条件

根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤认定主要关注的是伤害是否因工作原因造成，而非是否签订了劳动合同。也就是说，即使员工未与用人单位签订书面劳动合同，只要双方存在事实劳动关系，且员工是在工作时间、工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，就应当认定为工伤。

二、事实劳动关系的认定

在未签订书面劳动合同的情况下，如何认定事实劳动关系是关键。一般来说，可以通过以下证据来证明事实劳动关系的存在：

1. 工资支付凭证或记录：如银行转账记录、工资条等，可以证明用人单位向员工支付了工资。
2. 工作证、服务证等：这些证件上通常会有用人单位的名称和员工的姓名，可以证明员工在用人单位工作。
3. 考勤记录：如打卡记录、签到表等，可以证明员工在用人单位的工作时间。
4. 其他员工的证言：其他了解情况的员工可以提供证言，证明受伤员工与用人单位之间存在劳动关系。

三、工伤赔偿的责任承担

一旦认定为工伤，用人单位就需要承担相应的工伤赔偿责任。这包括但不限于：

1. 医疗费用：包括因工伤产生的医疗费、住院费、药费等。
2. 停工留薪期工资：员工在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由用人单位按月支付。
3. 伤残补助金：如果员工因工伤造成伤残，根据伤残等级，用人单位需要支付相应的伤残补助金。
4. 其他费用：如护理费、交通费、住宿费等，根据实际情况由用人单位承担。

四、未签劳动合同的法律后果

虽然未签劳动合同不影响工伤的认定和赔偿，但用人单位仍然需要承担未签劳动合同的法律后果。根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，在这种情况下，用人单位除了需要承担工伤赔偿责任外，还可能需要支付未签劳动合同的双倍工资差额。

五、建议与行动

1. 及时申请工伤认定：用人单位应在员工受伤后30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果用人单位未按时提出申请，员工或其近亲属可以在1年内直接提出申请。
2. 收集证据：用人单位应积极收集能够证明事实劳动关系的证据，以便在工伤认定和赔偿过程中维护自己的合法权益。
3. 协商与调解：在工伤认定和赔偿过程中，用人单位可以与员工或其近亲属进行协商和调解，以达成双方都能接受的赔偿方案。
4. 寻求法律帮助：如果双方在工伤认定和赔偿问题上存在争议，用人单位可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径解决争议。

最后，作为用人单位，应当重视劳动合同的签订和工伤预防工作，以减少类似纠纷的发生。如果还有其他关于合同纠纷或劳动工伤的问题，可以直接向我咨询。