结论前置：公司在与员工签订劳动合同后，不能随意开除员工，必须依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定进行。具体能否开除以及开除后的法律后果，需根据开除的理由和程序来判断。

详细分析：

1. 合法解除且无需支付经济补偿：

   • 如果员工在试用期间被证明不符合录用条件，如技能不达标、无法胜任工作等，公司可以依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
   • 若员工严重违反公司的规章制度，且这些制度已经过合法程序制定并向员工公示，公司同样可以合法解除劳动合同且无需支付经济补偿。
   • 此外，如果员工存在严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害，或同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位工作任务造成严重影响且拒不改正，或以欺诈、胁迫手段订立劳动合同导致合同无效，或被依法追究刑事责任等情形，公司也可以合法解除劳动合同且无需支付经济补偿。

2. 合法解除但需支付经济补偿：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定，如果员工患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作，或不能胜任工作经过培训或调岗后仍不能胜任，或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化致使合同无法履行且经协商未能就变更合同内容达成协议，公司可以提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并需支付经济补偿。
   • 若公司因经济性原因需要裁员，如企业破产重整、生产经营发生严重困难等，同样需要支付经济补偿。

3. 违法解除需支付赔偿金：

   • 如果公司违反《中华人民共和国劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，如没有任何合法理由随意辞退员工，员工有权要求继续履行合同。若员工不要求继续履行或合同已无法继续履行，公司应依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

法律建议：

• 对于公司而言，应严格遵守相关法律法规，尊重员工的权益。在解除劳动合同时，必须确保符合法定情形，并按照规定程序进行操作。同时，公司也应建立健全的内部管理制度，确保劳动合同的合法性和有效性，避免不必要的法律纠纷。
• 对于员工而言，在面临被解雇的情况时，应及时了解自己的权益。如果认为公司的解雇行为违法或不合理，可以与公司进行协商或寻求法律援助。必要时，可以申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

总结与进一步思考： 劳动合同是员工与公司之间的重要法律文件，它规定了双方的权利和义务。在解除劳动合同时，公司必须遵循法定程序和条件，否则可能面临法律责任。作为员工，也应了解自己的权益和法律途径，以便在必要时维护自己的合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。