结论：单位在员工未签合同的情况下，一般不可以随意开除员工，但具体是否可以开除以及开除后的法律后果，需根据实际情况判断。
分析说明：
未签合同不等于可以随意开除：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若未按时签订，用人单位需承担相应法律责任，如支付双倍工资等，但这并不意味着用人单位可以随意开除员工。
合法开除的情形：
- 如果员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等法定情形，用人单位可以依据《劳动合同法》的相关规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但这些情形的存在与是否签订劳动合同无直接关系。
违法开除的后果：
- 如果用人单位在没有合法理由的情况下开除员工，尤其是未签订劳动合同的员工，可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
特殊场景：
- 若员工在试用期内，且用人单位能证明员工不符合录用条件，那么用人单位可以依据《劳动合同法》的相关规定解除劳动合同，但同样需要遵循法定程序和条件。此外，即使员工未签合同，但如果已经实际提供了劳动，且双方存在事实劳动关系，用人单位也不能随意开除。
行动建议：
- 对于员工：如果遭遇单位未签合同且被开除的情况，建议首先收集相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明与单位存在事实劳动关系。然后，可以与单位协商解决，要求支付应得的工资、经济补偿或赔偿金等。如果协商无果，可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
- 对于单位：建议尽快与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。如果确实需要开除员工，应当确保有合法理由，并遵循法定程序和条件，以避免不必要的法律纠纷和损失。
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