核心结论：您作为公办敬老院护理员，通过劳务派遣被辞退的补偿问题，需根据辞退原因、派遣协议及劳动合同的具体约定综合判断。以下分情况说明：
1. 若辞退属于违法解除劳动合同
- 法律依据：根据《劳动合同法》第48条、87条，用人单位违法解除劳动合同的，应按经济补偿标准的2倍支付赔偿金。
- 计算方式：
- 经济补偿标准：按您在劳务派遣单位的工作年限，每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的按1年计算；不满6个月的支付半个月工资。
- 赔偿金=经济补偿标准×2。
- 示例：若您工作2年，月工资5000元，则赔偿金为5000×2×2=20000元。
2. 若辞退属于合法解除劳动合同
- 需满足条件：用人单位需证明辞退符合《劳动合同法》第39条（如严重违纪）、第40条（如不能胜任工作）或第41条（经济性裁员）的规定。
- 补偿标准：
- 仅支付经济补偿金（无2倍赔偿），计算方式同上。
- 若用人单位未提前30日通知解除，需额外支付1个月工资作为代通知金（仅适用于《劳动合同法》第40条情形）。
3. 若劳务派遣单位或用工单位（敬老院）存在过错
- 连带责任：根据《劳动合同法》第92条，若劳务派遣单位违法给劳动者造成损害，用工单位需与派遣单位承担连带赔偿责任。
- 常见情形：
- 派遣单位未依法缴纳社保、拖欠工资；
- 用工单位直接辞退您但未通过派遣单位办理手续。
4. 特殊情形：劳动合同期满终止
- 补偿标准：若派遣单位不续签劳动合同，需支付经济补偿金（计算方式同上）。
- 例外：若您主动提出不续签，或因您存在过错导致合同终止，则无需支付补偿。
行动建议
- 核实辞退原因：要求派遣单位出具书面辞退通知，明确辞退依据（如违纪证据、考核结果等）。
- 审查劳动合同与派遣协议：确认合同期限、工作内容、补偿条款等是否合法合规。
- 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、辞退通知等材料，以备维权使用。
- 协商或投诉：
- 优先与派遣单位协商补偿方案；
- 若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁。
提示：劳务派遣中的劳动关系复杂，补偿标准可能因具体案情不同。如有疑问，可直接向我咨询，我会结合您的实际情况进一步分析。