核心结论：农民工没签合同下班回家受伤，可能涉及工伤认定及赔偿问题，需分情况讨论。以下是具体分析：

1. 未签合同不影响劳动关系认定
   根据《劳动合同法》及《关于确立劳动关系有关事项的通知》，即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系（如工资发放记录、工作证、考勤记录、工友证言等），即可认定劳动关系。因此，农民工仍可主张工伤赔偿。

2. 下班途中受伤的工伤认定条件
   根据《工伤保险条例》第十四条第六项，上下班途中受到“非本人主要责任”的交通事故伤害，可认定为工伤。需满足：

   • 事故发生在合理时间、合理路线（如往返于住处与工地之间）；
     
   • 交通事故责任认定书中，农民工无责或次责（若负主责或全责，则不构成工伤）。
     若符合条件：可申请工伤认定，享受医疗费、停工留薪期工资、伤残补助等赔偿。
     若不符合条件（如自身原因导致事故）：需通过人身损害赔偿途径向肇事方索赔。

3. 未签合同下的维权步骤

   • 第一步：固定劳动关系证据
     收集工资转账记录、工作群聊天记录、工友证言、工地出入证等，证明与用人单位存在事实劳动关系。
     
   • 第二步：申请工伤认定
     向用人单位所在地社保部门提交《工伤认定申请表》、劳动关系证明、医疗诊断证明、交通事故责任认定书等材料。用人单位需在30日内申请，逾期可由农民工或其家属自行申请。
     
   • 第三步：劳动能力鉴定与赔偿
     工伤认定后，申请劳动能力鉴定（伤残等级），根据等级主张一次性伤残补助金、医疗补助金等。若用人单位未缴工伤保险，所有赔偿由用人单位承担。
     
   • 第四步：未签合同的双倍工资差额
     根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月未签合同，需支付11个月双倍工资差额（需在1年内申请劳动仲裁）。

4. 特殊情形：第三方侵权与工伤竞合
   若下班途中因第三方（如车辆）侵权受伤，可同时主张工伤赔偿和人身损害赔偿（如交通肇事赔偿），但医疗费等实际支出部分不可重复获赔。

建议：尽快收集证据申请工伤认定，若用人单位拒绝配合，可向劳动监察大队投诉或直接申请劳动仲裁。如有疑问，可进一步向我咨询具体操作流程。