结论前置：连续签三次固定合同到期后，若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件且未主动提出订立固定期限劳动合同，用人单位不签订无固定期限劳动合同通常属于违法行为。不过，也存在一些特殊情况使得用人单位不签订并不违法。
一般情形下属于违法
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款的规定，当满足以下条件时，劳动者有权提出或者同意续订、订立无固定期限劳动合同：
举例说明：假设小张在某公司连续签订了三次固定期限劳动合同，且小张在工作中没有出现严重违反公司规章制度、不能胜任工作等情形。在第三次合同到期时，如果小张提出续订无固定期限劳动合同，而公司拒绝，那么公司的行为就构成了违法。此时，小张可以要求公司继续履行劳动合同；若劳动合同已无法继续履行或小张不要求继续履行，公司需按照经济补偿标准的二倍向小张支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：按小张在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向小张支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
特殊情形下不违法
然而，也存在一些特殊情况，使得用人单位不签订无固定期限劳动合同并不违法：
劳动者明确提出订立固定期限劳动合同：若劳动者在续签时主动提出订立固定期限劳动合同，而非无固定期限劳动合同，这视为劳动者对自身权益的一种处分。在此情况下，用人单位按照劳动者的意愿签订固定期限劳动合同是合法的。
劳动者存在法定解除情形：若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作且经培训或调岗后仍不能胜任等，用人单位可以依法不与劳动者续签无固定期限劳动合同。
合同到期自然终止：如果劳动合同中明确规定了终止日期，并且该日期已经到来，同时双方没有达成续签的合意，那么合同就会自然终止。这种情况下，用人单位不续签合同并不构成违法。
总结与建议
综上所述，连续签三次固定合同到期后，用人单位是否签订无固定期限劳动合同需根据具体情况判断。若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件且未主动提出订立固定期限劳动合同，而用人单位拒绝签订，则构成违法；但在劳动者主动提出订立固定期限合同、存在法定解除情形或合同到期自然终止等特殊情况下，用人单位不签订并不违法。
因此，我建议劳动者在面临此类问题时，首先要明确自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件；其次，要与用人单位进行充分沟通，表达自己的意愿；最后，如果用人单位的行为涉嫌违法，劳动者可以依法维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。