结论：签的第三方合同到期后辞退保育员是否有赔偿，需根据具体情况判断，主要看合同到期后是否续签、辞退原因以及是否符合法定赔偿情形。以下从不同角度为您详细分析：
一、合同到期未续签且无合法理由辞退
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
具体分析：
- 如果保育员与第三方签订的劳动合同到期，且第三方未提出续签劳动合同，或者提出的续签条件低于原合同，保育员不同意续签，那么第三方在辞退保育员时，应当支付经济补偿。
- 经济补偿的金额根据保育员在第三方处的工作年限和月工资标准来计算。
二、合同到期未续签但存在合法理由辞退
法律背景：
- 如果保育员存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形，第三方即使未续签劳动合同，也有权辞退保育员，且无需支付经济补偿。
具体分析：
- 在这种情况下，辞退行为是基于保育员的过错行为，因此第三方无需承担赔偿责任。但第三方需要确保辞退行为符合法律法规的规定，且能够提供充分的证据证明保育员的过错行为。
三、合同到期后续签但提前辞退
法律背景：
- 如果第三方在合同到期后与保育员续签了劳动合同，但在合同期限内提前辞退保育员，那么需要根据辞退的原因和程序来判断是否需要支付赔偿。
- 如果辞退行为违法（如无正当理由、未提前通知等），保育员有权要求第三方支付赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿标准的两倍。
具体分析：
- 在这种情况下，保育员需要仔细审查辞退通知和辞退程序，确保自己的权益不受侵害。如果认为辞退行为违法，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
四、特殊情况下的赔偿
法律背景：
- 如果保育员在合同期间内因工受伤或患职业病，且被认定为工伤或职业病，那么即使合同到期或被辞退，保育员仍有权享受工伤保险待遇。
- 工伤保险待遇包括医疗费、康复费、护理费、一次性伤残补助金等，具体标准根据伤残等级和当地政策而定。
具体分析：
- 在这种情况下，保育员需要确保自己的工伤或职业病得到及时认定和治疗，并保留好相关证据和资料。如果第三方拒绝支付工伤保险待遇，保育员可以向劳动保障行政部门投诉或申请劳动争议仲裁。
建议：
- 如果您是保育员，遇到合同到期后被辞退的情况，请仔细审查合同条款和辞退通知，确保自己的权益不受侵害。如有疑问或需要帮助，请及时向我咨询。
- 如果您是第三方用人单位，在辞退保育员时请确保行为合法合规，避免引发劳动争议和法律风险。如有需要，也可以向我咨询相关法律问题。