结论：幼儿园辞退第三方的保育员后是否有补偿，这主要取决于辞退的原因以及保育员与幼儿园（或第三方机构）之间的劳动合同或劳务协议的具体内容。以下是从不同角度进行的分析：

1. 合法辞退且无过错情况：

   • 如果保育员存在严重违反幼儿园规章制度、失职造成重大损害、被依法追究刑事责任等合法辞退的情形，且保育员本身无过错，那么根据《劳动合同法》的相关规定，幼儿园（或第三方机构）可能无需支付经济补偿。但这种情况较为特殊，且需要幼儿园（或第三方机构）提供充分的证据来证明辞退的合法性。

2. 合法辞退但需支付经济补偿的情况：

   • 如果保育员不存在上述严重过错，而是因为幼儿园（或第三方机构）的经营状况变化、业务调整等原因被辞退，那么根据《劳动合同法》第四十六条的规定，幼儿园（或第三方机构）应当向保育员支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照保育员在幼儿园（或第三方机构）工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向保育员支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向保育员支付半个月工资的经济补偿。

3. 违法辞退情况：

   • 如果幼儿园（或第三方机构）无法提供合法辞退的证据，或者辞退行为违反了法律法规的规定（如未提前通知、未支付经济补偿等），那么保育员有权要求幼儿园（或第三方机构）支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿标准的两倍。

4. 第三方机构与保育员的关系：

   • 还需要注意的是，如果保育员是与第三方机构签订的劳动合同或劳务协议，而非直接与幼儿园签订，那么辞退补偿的责任应由第三方机构承担。但幼儿园作为用工单位，如果与第三方机构有明确的协议约定，也可能需要承担一定的连带责任或协助义务。

建议：

• 对于保育员而言，如果遭遇辞退，首先应要求幼儿园（或第三方机构）出具书面的辞退通知，并明确辞退的原因。
• 接着，保育员应仔细审查自己与幼儿园（或第三方机构）之间的劳动合同或劳务协议，了解自己的权益和义务。
• 如果认为辞退行为违法或不合理，保育员可以向当地的劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

法律后果：

• 如果幼儿园（或第三方机构）未按照法律法规的规定支付经济补偿或赔偿金，保育员有权通过法律途径追讨，并可能获得额外的赔偿或利息。
• 同时，幼儿园（或第三方机构）也可能因违法辞退行为而面临劳动监察部门的处罚或声誉损失。

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