结论前置：五十一岁的保育员被幼儿园辞退，是否有补偿取决于具体的辞退原因和劳动合同约定。若辞退符合法定情形或合同约定，且幼儿园无违法行为，则可能无补偿；若幼儿园违法辞退，则应支付经济补偿金。

分析说明：

1. 合法辞退情况：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，若保育员存在严重违反幼儿园规章制度、严重失职、营私舞弊等行为，或者因客观情况发生重大变化导致合同无法履行且双方未能就变更合同达成协议等法定情形，幼儿园可以依法辞退保育员，且无需支付经济补偿金。
   • 同时，若劳动合同中明确约定了辞退条件，且保育员的行为符合这些条件，幼儿园也可以按照合同约定辞退保育员，同样无需支付经济补偿金。

2. 违法辞退情况：

   • 若幼儿园无故辞退保育员，或者辞退行为违反了《劳动合同法》的相关规定（如未提前通知、未支付代通知金、未依法支付经济补偿金等），则构成违法辞退。
   • 在这种情况下，保育员有权要求幼儿园支付经济补偿金。经济补偿金的计算通常依据保育员在幼儿园的工作年限和月工资水平来确定。

法律建议：

• 保育员应首先查看自己的劳动合同，了解其中关于辞退和补偿的约定。
• 若认为幼儿园存在违法辞退行为，保育员可以收集相关证据（如劳动合同、辞退通知书、工资单等），并咨询专业律师（即我张明珠律师）以了解自己的权益和维权途径。
• 在与幼儿园协商或申请劳动仲裁时，保育员应明确自己的诉求和依据，并充分举证证明幼儿园的违法辞退行为。

行动指南：

• 第一步：查看劳动合同，了解辞退和补偿的约定。
• 第二步：收集相关证据，如劳动合同、辞退通知书等。
• 第三步：咨询专业律师（张明珠律师），了解自己的权益和维权途径。
• 第四步：与幼儿园协商或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。