结论：针对您在私人医院上班未签合同被辞退，且当月还差11天未上完的情况，您有权要求医院支付未签劳动合同的双倍工资差额、未结清的工资以及可能的经济补偿金。

详细分析：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 在您的情况下，由于医院未与您签订书面劳动合同，您有权要求医院支付从用工之日起满一个月的次日至您被辞退之日止的双倍工资差额。具体计算方式为：您实际工作的月数（扣除第一个月）乘以您的月工资，再减去医院已经支付给您的工资。

2. 未结清的工资：

   • 您当月还差11天未上完班，医院应当支付您这11天的工资。工资计算方式通常按照您的日工资乘以11天来计算。日工资可以通过您的月工资除以当月的工作日天数（通常扣除周末和法定节假日）来得出。
   • 计算公式：\(未结清工资 = 日工资 \times 11天\)，其中，\(日工资 = 月工资 \div 当月工作日天数\)。

3. 经济补偿金：

   • 如果医院辞退您没有合法的理由（如严重违反医院规章制度、不能胜任工作等，且医院已履行相应的程序），则可能构成违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条和第八十七条，您有权要求医院支付经济补偿金，经济补偿金的标准为每工作一年支付一个月工资，违法解除的则需支付双倍的经济补偿金。
   • 在您的情况下，如果医院无法提供合法辞退的理由，您有权要求医院支付至少半个月工资（假设您工作不满六个月）作为经济补偿金，如果医院违法解除，则需支付一个月工资作为赔偿。

建议行动：

• 收集证据：首先，您需要收集与医院存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
• 协商解决：尝试与医院进行协商，要求医院支付上述费用。
• 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据和仲裁申请书，要求医院支付未签劳动合同的双倍工资差额、未结清的工资以及经济补偿金。

注意事项：

• 劳动仲裁有一定的时效限制，通常为一年，自您知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起计算。因此，建议您尽快采取行动。
• 在劳动仲裁过程中，您需要提供充分的证据来支持自己的主张。因此，务必妥善保管好与医院存在劳动关系的所有证据。

如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。