结论：在医院上班半个月且未签订劳动合同的情况下，您可以申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
分析说明：
未签订劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。若未在规定时间内（通常是自用工之日起一个月内）签订书面劳动合同，用人单位需承担相应的法律责任。
- 在您的情况下，虽然只工作了半个月，但已经与医院建立了劳动关系。若医院未与您签订书面劳动合同，则违反了法律规定。
劳动仲裁的适用性：
- 劳动仲裁是解决劳动争议的一种方式，适用于因确认劳动关系、订立、履行、变更、解除和终止劳动合同等发生的争议。
- 在您的情况下，由于医院未与您签订劳动合同，您可以通过劳动仲裁来确认劳动关系，并要求医院承担因未签订劳动合同而产生的法律责任，如支付双倍工资等（但需注意，双倍工资的支付通常是从用工之日起满一个月的次日开始计算，因此半个月可能不直接涉及双倍工资，但可作为确认劳动关系和主张其他权益的依据）。
仲裁请求的建议：
- 在申请劳动仲裁时，您可以提出确认与医院之间的劳动关系、要求医院支付未签订劳动合同期间的工资（若医院未支付）、以及可能的其他权益（如加班费、社会保险等，具体根据实际情况确定）。
- 需要注意的是，由于您只工作了半个月，某些权益（如经济补偿金、赔偿金等）可能因工作时间较短而不适用或金额较小。但确认劳动关系和要求支付工资是基本的权益，应当得到保障。
行动建议：
- 收集证据：在申请劳动仲裁前，务必收集好与医院建立劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资条（若有）、同事证言等。这些证据将有助于证明您与医院之间的劳动关系以及您的工作情况。
- 咨询专业律师：虽然我已经为您提供了一些基本的法律建议，但劳动仲裁涉及具体的法律程序和证据规则，因此建议您在申请前咨询专业律师，以获取更详细和个性化的法律指导。
- 提交仲裁申请：在准备好相关证据和咨询专业律师后，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并按照仲裁委员会的要求填写申请书、提交证据等。
特殊场景提醒：
- 若医院在您工作期间已经支付了工资，且您对工资金额无异议，那么在申请劳动仲裁时，您可能不需要再主张工资支付请求。但确认劳动关系的请求仍然重要，因为它将为您后续主张其他权益（如社会保险、加班费等）提供基础。
后续思考依据：
- 劳动仲裁的结果将取决于您提供的证据和仲裁委员会的裁决。因此，在申请前务必充分准备证据，并在必要时寻求专业律师的帮助。
- 若仲裁结果不满意，您还可以在规定时间内向人民法院提起诉讼，以进一步维护自己的合法权益。