针对您的情况，首先明确结论：您在公司工作10年，无论是否签订书面劳动合同，都已形成事实劳动关系；非因工受伤且公司要求离职，可能涉及违法解除劳动关系及经济补偿问题。以下从不同角度为您详细分析：

一、关于劳动合同签订问题

1. 未签书面合同的法律后果
   根据《劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。您已工作10年，即使未签书面合同，也已形成无固定期限劳动关系，公司无权以“未签合同”为由解除劳动关系。

2. 如何证明劳动关系
   若公司否认劳动关系，您可通过以下证据证明：

   • 工资支付记录（银行流水、转账记录）；
     
   • 社保缴纳记录；
     
   • 工作证、工服、考勤记录；
     
   • 同事证言、工作邮件、微信聊天记录等。
     建议：立即收集上述证据，以备后续维权使用。

二、非因工受伤后公司要求离职的合法性分析

1. 公司单方解除的合法性
   根据《劳动合同法》第四十条，劳动者患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位可提前30日书面通知或支付代通知金后解除劳动合同。
   但需满足以下条件：
   
   • 医疗期已满（根据工龄，您可享受至少6个月医疗期）；
     
   • 公司需证明您无法从事原工作或另行安排的工作；
     
   • 需支付经济补偿金（工作10年应支付10个月工资）。
     

若公司未满足上述条件直接解除，属于违法解除，您可要求继续履行合同或主张赔偿金（20个月工资）。

1. 经济补偿与赔偿金的计算
   
   • 经济补偿金：合法解除时，按工作年限支付，每满1年支付1个月工资（10年=10个月工资）。
     
   • 赔偿金：违法解除时，按经济补偿金的2倍支付（10年=20个月工资）。
     计算公式：
     

   赔偿金 = 月工资 × 工作年限 × 2  
   （例：月工资8000元，工作10年，赔偿金=8000×10×2=16万元）
   

三、您的维权路径建议

1. 与公司协商
   可要求公司出具书面解除通知，明确解除理由及补偿方案。若公司拒绝支付补偿，可明确告知其违法解除的后果。

2. 申请劳动仲裁
   若协商无果，可向当地劳动仲裁委员会申请仲裁，主张：

   • 确认劳动关系；
     
   • 违法解除赔偿金；
     
   • 未签书面合同的双倍工资差额（虽已过1年时效，但可主张无固定期限合同权益）。
     

3. 注意时效限制
   劳动争议仲裁时效为1年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起计算（如公司解除通知之日）。建议尽快行动，避免超期。

四、其他注意事项

1. 医疗期保护
   若您仍在医疗期内，公司无权解除劳动合同，否则属于违法解除。

2. 社保缴纳问题
   若公司未为您缴纳社保，可一并主张补缴或赔偿损失（如无法享受医保报销的损失）。

总结建议：

1. 立即收集劳动关系证据；
   
2. 书面要求公司出具解除通知并说明理由；
   
3. 根据公司态度，选择协商或直接申请仲裁；
   
4. 如有疑问或需进一步协助，可直接向我咨询具体操作流程。
   

您的情况涉及多项劳动法权益，建议谨慎处理，避免因操作不当导致权益受损。