结论：您在公司工作了十多年，尽管公司未与您签订书面劳动合同，但根据法律规定，您与公司之间仍然建立了劳动关系。您有权要求公司补签无固定期限劳动合同，并可根据实际情况主张相应的权益。

一、劳动关系的确认

根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》的规定，即使没有书面劳动合同，只要同时具备以下情形，劳动关系仍然成立：

1. 主体资格合法：您与公司均符合法律、法规规定的主体资格。
2. 规章制度适用：您受公司的劳动管理，从事公司安排的有报酬的劳动。
3. 业务组成部分：您提供的劳动是公司业务的组成部分。

此外，工资支付记录、考勤记录、工作证、服务证、同事证言等均可作为证明劳动关系的证据。因此，您与公司之间的劳动关系是明确存在的。

二、补签无固定期限劳动合同

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。您在公司已经工作了十多年，完全符合这一条件，因此您有权要求公司补签无固定期限劳动合同。

三、主张双倍工资差额（可能因时效限制而无法获得支持）

根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。然而，这一主张通常受到一年仲裁时效的限制，即从您知道或应当知道自己权利被侵害之日起计算一年内提出。由于您已经工作了十几年，此部分诉求可能因超过时效而无法获得支持。但具体情况还需结合当地司法实践来判断，若当地有特别规定（如持续计算或分段计算），您可根据实际情况咨询我进一步了解。

四、主张经济补偿金或其他赔偿（如适用）

1. 解除劳动关系情形：若公司以未签劳动合同为由违法解除劳动合同，您可依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条要求继续履行合同或主张赔偿金（经济补偿标准的二倍）。
2. 其他赔偿：若因未签劳动合同导致您无法享受社保待遇等损失，您可要求公司承担赔偿责任。具体赔偿项目和金额需结合实际情况确定。

五、申请劳动仲裁或提起诉讼

若您与公司无法就上述问题达成一致，您可以先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，可在法定期限内向人民法院提起诉讼。在申请仲裁或诉讼前，您应充分收集并整理相关证据材料，包括工作记录、工资支付凭证、证人证言等，以支持您的主张。

六、建议与行动

1. 与公司协商：首先，您可以尝试与公司协商补签无固定期限劳动合同，并就其他相关权益进行协商。
2. 收集证据：在协商过程中，注意收集并保存相关证据，以备不时之需。
3. 寻求法律帮助：若协商无果，您可以向我咨询，了解具体的法律程序和策略，以便更好地维护自己的权益。

总之，尽管公司未与您签订书面劳动合同，但您与公司之间的劳动关系是明确存在的。您有权要求公司补签无固定期限劳动合同，并可根据实际情况主张相应的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。