当公交车司机紧急刹车导致乘客受伤时，乘客确实有权进行索赔，并且赔偿过程需要遵循一定的法律程序和标准。以下是对这一问题的详细解答：
一、责任主体与法律依据
首先，要明确责任主体。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，公交公司作为承运人，对乘客负有安全保障义务。如果公交司机在执行职务行为时因紧急刹车导致乘客受伤，那么由公交公司承担侵权责任。如果事故是由第三方（如违规车辆或行人）引起的，公交公司在赔偿乘客后，有权向该第三方追偿。
二、赔偿项目与计算方式
赔偿项目主要包括以下几项，并且每项都有明确的计算方式：
医疗费：包括挂号费、检查费、治疗费、药费等实际发生的医疗费用。赔偿数额通常按一审法庭辩论终结前实际发生的数额确定，如果后续还需要治疗，可以待实际发生后另行起诉或一并赔偿（需医疗证明或鉴定结论）。
误工费：如果乘客因受伤而误工，那么公交公司需要赔偿误工费。有固定收入的乘客，按实际减少的收入计算；无固定收入的乘客，按最近三年平均收入计算；如果不能举证，则参照受诉法院所在地相同或相近行业上一年度职工平均工资计算。
护理费：如果乘客需要护理，那么公交公司需要赔偿护理费。护理人员有收入的，参照误工费规定计算；护理人员无收入或雇佣护工的，按当地护工同等级别护理的劳务报酬标准计算。护理期限至受害人恢复生活自理能力时止，最长不超过二十年。
交通费：根据乘客及其必要陪护人员因就医或转院治疗实际发生的费用计算，需正式票据且与就医地点、时间、人数、次数相符。
住院伙食补助费：参照当地国家机关一般工作人员出差伙食补助标准确定。
营养费：根据乘客伤残情况参照医疗机构意见确定。
残疾赔偿金：如果乘客因伤致残，那么公交公司需要赔偿残疾赔偿金。根据丧失劳动能力程度或伤残等级，按受诉法院所在地上一年度居民人均可支配收入计算，自定残之日起按二十年计算（六十周岁以上每增加一岁减少一年，七十五周岁以上按五年计算）。
残疾辅助器具费：如果乘客需要残疾辅助器具，那么公交公司需要赔偿残疾辅助器具费。按普通适用器具的合理费用标准计算，特殊需要可参照配制机构意见。
精神损害抚慰金：如果事故给乘客造成了严重精神损害，那么公交公司还需要赔偿精神损害抚慰金。具体数额根据侵权人的过错程度、侵害手段、场合、行为方式、后果、获利情况、经济能力及受诉法院所在地平均生活水平等因素确定。
三、赔偿流程与建议
保留证据：乘客在受伤后，应首先保留好相关证据，包括公交车监控视频、现场照片、证人证言、病历、诊断证明、医疗费用发票等。这些证据将有助于后续索赔。
与公交公司协商：乘客可以与公交公司协商赔偿问题。在协商过程中，乘客应明确自己的赔偿要求，并依据相关法律法规进行计算。如果双方达成一致，应签订书面赔偿协议，明确权利义务和赔偿细节。
法律途径维权：如果协商不成，乘客可以通过法律途径维权。可以向交通运输管理部门投诉公交公司的服务质量和安全问题，也可以申请消费者协会、人民调解委员会等机构进行调解。如果仍然无法解决问题，乘客可以向人民法院提起诉讼。
在整个索赔过程中，乘客应了解自己的权利，合理合法地维权。同时，也应尊重公交公司的权益，通过协商和法律途径寻求问题的解决。保留好相关证据，明确赔偿要求，并依法进行索赔，是确保乘客权益得到有效保障的关键。