商家未在购买当时开具发票属于违法行为。具体分析如下：

1. 从发票管理法规角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务或从事其他经营活动的单位和个人，在收取款项时应当向付款方开具发票。这意味着商家在交易完成时（即收取款项时）即负有即时开具发票的法定义务。若商家以“系统故障”“暂时缺纸”等理由拖延开具，均属于违反该条款的行政违法行为，税务机关可责令改正并处1万元以下罚款。

2. 从消费者权益保护角度
   依据《消费者权益保护法》第二十二条，经营者提供商品或服务时，必须按照国家规定或交易习惯向消费者出具发票等购货凭证。若商家拒绝当场开具发票，消费者有权要求其立即履行义务，且该要求不受“需下次消费时开具”等附加条件限制。商家若持续拒绝，可能同时构成对消费者知情权和公平交易权的侵害。

3. 从税务合规风险角度
   商家延迟开具发票可能涉及两重风险：

   • 对商家自身：若未在当期申报未开票收入，可能被税务机关认定为隐瞒收入，面临补缴税款、滞纳金及0.5倍至5倍罚款的处罚；
     
   • 对消费者：若商家后续失联或注销，消费者可能因无法取得发票而丧失保修、退换货等权利，甚至在涉及产品质量纠纷时面临举证困难。

建议行动：

• 若商家以“下次补开”为由拖延，可明确告知其法律义务并要求当场开具；
  
• 若商家拒绝，可向当地税务机关举报（拨打12366纳税服务热线）或通过12315平台投诉；
  
• 保留交易凭证（如付款记录、聊天记录等）作为维权证据。
  

如有进一步细节需要分析（如商家是否已申报未开票收入、交易金额大小等），可直接向我咨询。