商家在第一时间没有给消费者开发票，这一行为确实是违法的。这不仅违反了税收管理法规，也侵害了消费者的合法权益。下面我将从法律依据、违法性分析以及消费者权利与维权途径三个方面，为您详细阐述这一问题。
一、法律依据
《中华人民共和国发票管理办法》：该办法明确规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方必须向付款方开具发票。这是商家的法定义务，也是保障消费者权益和税收征管的重要手段。
《中华人民共和国消费者权益保护法》：该法指出，经营者提供商品或服务时，应按照国家有关规定或商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或服务单据。消费者索要这些凭证时，经营者必须出具。这从消费者权益保护的角度强调了发票的重要性。
《中华人民共和国税收征收管理法》：该法规定，单位、个人在购销商品、提供或接受服务以及其他经营活动中，应按规定开具、使用、取得发票。税务机关是发票的主管机关，负责相关管理和监督。这进一步强化了发票在税收征管中的核心地位。
二、违法性分析
商家不开发票的行为，首先违反了税收管理法规，逃避了税务监管，未履行依法纳税的义务，导致国家税收流失。其次，这一行为也侵害了消费者的合法权益，包括损害知情权（无法全面了解消费情况）和影响求偿权（在商品或服务出现问题时难以维权）。
三、消费者权利与维权途径
要求开发票的权利：消费者支付费用后，有权要求商家提供正规发票。这是消费者合法权益的重要组成部分，也是后续维权的重要依据。
维权与投诉的权利：
索赔与追究责任的权利：如果因为商家未开具发票而导致消费者在商品或服务出现问题时无法有效维权，消费者有权要求商家承担相应的法律责任，并进行索赔。在必要时，消费者还可以通过法律途径追究商家的民事责任。
总结与建议：
商家不主动给消费者开发票是违法的，且可能面临税务机关的处罚、消费者投诉与维权以及商誉风险等多重后果。因此，我建议商家应严格遵守相关法律法规，主动为消费者开具发票，确保交易的合法性和透明度。同时，消费者在购物或服务消费后，也应主动索取发票，并妥善保管，以备不时之需。如遇商家拒绝开具发票的情况，消费者应及时向当地税务部门投诉举报，维护自己的合法权益和税收秩序。