核心结论：政府公司帮老百姓垫付农民工资和材料款却未签合同，可通过收集证据证明垫付事实，先尝试协商解决，协商不成可考虑诉讼或仲裁（若有其他约定）来追回款项。以下是具体分析：

证据收集

虽然没有签订合同，但要追回垫付的款项，关键在于收集能证明垫付事实存在的证据。

• 付款凭证：这是最直接的证据，比如银行转账记录、现金收据等，能清晰显示款项的支付时间、金额以及收款方等信息。如果是通过银行转账，要保留好转账凭证，上面会明确标注转账的双方账户、金额、时间等关键信息；若是现金支付，尽量让收款方出具收据，注明收款事由是垫付农民工资或材料款。
• 相关沟通记录：包括与农民、材料供应商以及涉及此事的相关政府部门或人员的聊天记录、邮件往来等。这些记录中可能会提及垫付的情况、金额、事由等重要信息。例如，在微信聊天记录中，对方承认收到了垫付的款项以及款项的用途等内容，都可以作为证据使用。
• 证人证言：如果有了解情况的第三方，比如参与协调此事的工作人员、其他知晓垫付情况的农民或供应商等，他们的证言也可以辅助证明垫付事实。但证人需要出庭作证，其证言的证明力会受到证人出庭情况、与双方的关系等因素影响。

协商解决

在收集好证据后，首先可以尝试与农民或材料供应商进行协商。向他们说明政府公司垫付款项的情况，出示收集到的证据，要求他们返还垫付的款项。协商的优势在于可以节省时间和成本，避免进入复杂的法律程序。在协商过程中，要保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和依据，争取达成一个双方都能接受的还款协议。

诉讼途径

如果协商无法解决问题，政府公司可以考虑通过诉讼的方式来追回款项。

• 确定被告：根据具体情况确定合适的被告。如果是农民拒绝返还工资垫付款，那么农民就是被告；如果是材料供应商不归还材料款垫付，供应商则为被告。
• 选择管辖法院：一般来说，合同纠纷案件由被告住所地或者合同履行地人民法院管辖。虽然这里没有签订书面合同，但可以根据实际的垫付行为发生地等因素来确定合同履行地，从而选择有管辖权的法院提起诉讼。
• 准备诉讼材料：包括起诉状、证据材料等。起诉状要明确写明原告和被告的基本信息、诉讼请求（即要求被告返还垫付的款项及可能产生的利息等）、事实和理由等内容。证据材料就是前面收集的各类能证明垫付事实的证据。
• 参与诉讼过程：在法院受理案件后，要按照法院的要求参与诉讼活动，如参加庭审、举证质证等。在庭审中，要清晰地陈述事实和理由，出示证据，反驳对方的观点，以维护自己的合法权益。

仲裁途径（若有其他约定）

如果双方在之前的沟通或其他文件中对仲裁有约定，那么也可以根据约定向仲裁机构申请仲裁。仲裁的程序相对灵活，而且仲裁裁决具有终局性，效率可能较高。但同样需要准备好相关的证据材料，按照仲裁规则参与仲裁程序。