结论：意外伤害私了之后，若发现后期就医费用大，一般情况下仍然可以起诉，但能否得到法院支持需视具体情况而定。
分析说明：
私了协议的效力：
- 私了协议，即双方自行达成的和解协议，在法律上属于民事合同的一种。如果协议内容合法、双方意思表示真实，且不存在欺诈、胁迫等情形，该协议通常具有法律效力。
- 然而，如果私了协议中未涵盖所有可能的损害后果，或者双方对后续可能出现的费用没有预见并作出约定，那么当实际费用超出协议范围时，受害方仍有权寻求法律救济。
起诉的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因侵权行为造成他人损害的，应当承担侵权责任。这包括赔偿因侵权行为导致的医疗费、护理费、交通费等合理费用。
- 如果私了后发现后期就医费用大，且这些费用是由于最初的意外伤害直接导致的，那么受害方有权根据法律规定，向法院提起诉讼，要求侵权方承担相应的赔偿责任。
起诉的注意事项：
- 证据收集：受害方需要收集充分的证据来证明后期就医费用与最初的意外伤害之间的因果关系，以及这些费用的合理性和必要性。这可能包括医疗记录、费用清单、专家意见等。
- 诉讼时效：根据法律规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，受害方需要在知道或应当知道权利受到损害之日起三年内提起诉讼。
- 协议履行情况：如果私了协议已经部分履行，受害方在起诉时需要考虑如何处理已履行的部分和未履行的部分。这可能涉及到协议的变更、解除或继续履行等问题。
可能的法律后果：
- 如果法院认定受害方的诉讼请求成立，那么侵权方可能需要承担额外的赔偿责任，包括后期就医费用等。
- 如果法院认定私了协议有效且已涵盖所有损害后果，或者受害方无法提供充分证据证明后期就医费用与意外伤害之间的因果关系，那么受害方的诉讼请求可能会被驳回。
行动建议：
- 如果你发现自己因意外伤害私了后后期就医费用大，建议首先收集相关证据，包括医疗记录、费用清单等，以证明这些费用与最初的意外伤害之间的因果关系。
- 然后，你可以考虑向法院提起诉讼，要求侵权方承担相应的赔偿责任。在起诉前，建议你咨询专业律师，以了解具体的法律程序和诉讼策略。
- 同时，你也需要关注诉讼时效问题，确保在法定期限内提起诉讼。
特殊场景：
- 如果私了协议中明确约定了“一次性了结，后续不再追究”等条款，且这些条款不违反法律强制性规定，那么受害方在起诉时可能会面临更大的挑战。然而，即使存在这样的条款，如果受害方能够证明后期就医费用是由于最初的意外伤害直接导致的，且这些费用在协议签订时无法预见，那么仍然有可能获得法院的支持。
相关法规：
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
- 《中华人民共和国民法典》第一百八十八条：向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。
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