结论前置：针对您描述的情况，即员工未签劳动合同因生病半个月未上班，康复后公司拒绝其继续工作，这涉及到未签劳动合同的法律后果以及公司解除劳动关系的合法性两个核心问题。以下我将从这两个方面为您详细分析。
一、未签劳动合同的法律后果
双倍工资赔偿：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在公司工作超过一个月而未签订劳动合同，您有权要求公司支付双倍工资作为赔偿。
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 同样根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。虽然您的情况可能尚未达到一年，但这一条款说明了未签劳动合同的严重性。
二、公司解除劳动关系的合法性
病假期间的权益：
- 员工在病假期间享有法定的医疗期，医疗期内公司不得随意解除劳动合同。如果您因生病而请假，且请假时间在医疗期内，公司拒绝您继续工作可能构成违法解除劳动合同。
公司解除劳动关系的合法理由：
- 公司要解除与您的劳动关系，必须有合法的理由，如您严重违反公司规章制度、不能胜任工作等。如果公司仅因您生病请假而解除劳动关系，且没有提供充分的合法理由，那么公司的行为可能构成违法解除。
违法解除的后果：
- 如果公司违法解除与您的劳动关系，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，您有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，经济补偿金根据您在公司的工作年限和月工资来确定。
三、具体建议
收集证据：
- 您应尽快收集与公司的劳动关系证明、未签劳动合同的证据、病假期间的医疗证明等，以备后续维权之需。
与公司协商：
- 在收集到足够证据后，您可以尝试与公司进行协商，要求公司支付双倍工资赔偿、继续履行劳动合同或者支付赔偿金。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关的证据材料，并按照仲裁委员会的要求进行陈述和辩论。
进一步思考：在处理此类劳动纠纷时，除了关注法律条款和证据收集外，还应考虑公司的实际经营状况和您的个人职业规划。如果公司确实存在经营困难或者您有其他更好的职业机会，也可以考虑通过协商达成一个双方都能接受的解决方案。如果您在处理过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。