结论：虽然您只上了半天班且没有签劳动合同，但您与老板之间已经形成了事实劳动关系，老板不能随意解雇您。如果老板无正当理由解雇您，您有权要求其支付相应的经济补偿。

分析如下：

1. 事实劳动关系的认定：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，即使没有签订书面劳动合同，只要您实际为老板提供了劳动，双方之间就形成了事实劳动关系。这种劳动关系同样受到法律的保护。

2. 老板解雇的合法性：

   • 老板不能随意解雇您，必须遵循法律规定的程序和条件。如果老板没有正当理由或者未按照法定程序解雇您，那么这种解雇就是违法的。

3. 经济补偿的请求权：

   • 如果老板违法解雇您，您有权要求其支付经济补偿。经济补偿的计算通常依据您在单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。由于您工作时间较短（半天），可能不足一个月，但根据法律规定，即使工作时间很短，如果老板违法解雇，您也有权要求一定的经济补偿，具体数额可能根据实际情况和当地规定来确定，一般情况下，对于工作时间极短的情况，可能会按照实际工作天数或一定的比例来计算补偿。
   • 另外，由于老板未与您签订书面劳动合同，根据法律规定，老板应在您开始上班后一个月内与您签订书面合同。如果未签订，从您上班满一个月的第二天起，老板应支付您双倍工资，直至签订书面合同或劳动关系结束。不过，由于您只工作了半天，这一条款在您的情况下的具体应用可能需要结合实际情况和当地劳动法规来进一步判断。

4. 维权途径：

   • 如果您认为老板的解雇行为侵害了您的权益，您可以向当地的劳动仲裁部门投诉。在投诉时，您需要提供相关证据，如工作记录、工资单（如果有的话）、与老板的沟通记录等，以证明您与老板之间存在事实劳动关系以及老板违法解雇的事实。

建议与提醒：

• 在处理此类纠纷时，建议您尽量收集并保留相关证据，以便在需要时证明自己的权益。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到保障，可以考虑寻求专业法律人士的帮助。不过，既然您已经找到了我，沈泽宇律师，专注于合同纠纷、公司事务等领域，您可以直接向我咨询相关法律问题，我会尽力为您提供专业的法律建议和支持。

最后，希望您能够顺利解决这个问题，维护自己的合法权益。如果有任何进一步的问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。