结论前置：您生病住院期间被公司辞退，且未签订劳动合同，公司的行为可能违法。您有权要求公司恢复劳动关系或支付赔偿金，并可通过协商、投诉或申请劳动仲裁来维护自身权益。

一、关于未签劳动合同但存在事实劳动关系

即便您未与公司签订书面劳动合同，但只要您实际为公司提供了劳动，且公司向您支付了工资（如通过银行转账、现金支付等），同时您持有公司发放的工作证、服务证等能够证明身份的证件，或者有同事的证言、工作聊天记录等，均可认定为存在事实劳动关系。在这种情况下，您同样享有劳动法规定的各项权益。

二、关于生病住院期间被辞退的合法性

根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工享有3-24个月的医疗期（具体期限视工作年限而定）。在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。因此，公司在您生病住院期间将您辞退，很可能构成违法解除。

三、您可以采取的维权措施

1. 收集证据：

   • 工资支付凭证（如银行流水、工资条等）；
   • 工作证、服务证等身份证明；
   • 考勤记录、工作聊天记录等能证明您实际为公司提供劳动的证据；
   • 病历、诊断证明、住院费用清单等就医凭证。

2. 与公司协商：

   • 您可先与公司进行协商，要求公司恢复劳动关系或按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿按您在公司的工作年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。

3. 向劳动监察部门投诉：

   • 若协商无果，您可向当地的劳动监察部门投诉，请求其介入调查并处理公司的违法行为。

4. 向劳动争议仲裁委员会申请仲裁：

   • 您还可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付赔偿金、未签劳动合同期间的双倍工资差额（自用工之日起超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同的部分）等。

四、关于未签劳动合同的双倍工资差额

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，您有权要求公司支付自用工之日起超过一个月不满一年期间的双倍工资差额。

五、后续建议

• 尽快行动：由于劳动争议有时效限制，建议您尽快采取上述维权措施，以免错过时效。
• 保留证据：在整个维权过程中，务必妥善保管所有相关证据，以备不时之需。
• 咨询专业意见：虽然我已为您提供了一定的法律指导，但具体案件可能存在特殊情况。因此，在必要时，您可进一步向我咨询，以便更准确地把握案件走向和维权策略。

最后，我希望您能够顺利解决这个问题，维护好自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。