结论前置：公司辞退员工时，解除劳动合同的证明应当在解除或终止劳动合同时（即双方劳动关系结束的当日）出具给员工。若员工不配合沟通，公司仍需履行此法定义务，并可通过合法途径确保员工收到该证明。
一、解除劳动合同证明的出具时间
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明。这一规定明确了出具证明的时间点，即劳动关系结束的当日。
实际操作：
- 无论员工是否配合沟通，公司都应在辞退决定生效的当日或之前，准备好解除劳动合同的证明，并在劳动关系结束时及时交付给员工。若员工拒绝接收，公司可通过邮寄、电子邮件或其他合法方式送达，并保留好送达证据。
二、员工不配合沟通的处理
沟通义务：
- 尽管员工不配合沟通，但公司仍有义务与其进行必要的沟通，解释辞退的原因、依据及后续手续等。这有助于减少误解和纠纷，维护公司的良好形象。
合法送达：
- 若员工拒绝接收解除劳动合同的证明或其他相关文件，公司应确保通过合法途径送达。例如，可以通过邮寄方式寄送至员工提供的地址，并保留好邮寄凭证；或者通过电子邮件发送至员工在公司登记的邮箱，并保留好发送记录。
记录与证据：
- 公司应详细记录与员工的沟通情况，包括沟通时间、地点、内容、员工态度等，并保留好相关证据。这些记录和证据在后续可能发生的劳动争议中具有重要的证明作用。
三、其他相关手续与义务
经济补偿的支付：
- 若公司辞退员工需要支付经济补偿，根据法律规定，该补偿应在办结工作交接时支付。公司应与员工协商确定工作交接的时间，并确保按时支付经济补偿。
档案和社保转移：
- 公司需在解除或终止劳动合同后的十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这是公司的法定义务，必须严格履行。
工资结算等其他事宜：
- 除了上述手续外，公司还需与员工结清工资、福利等其他应付款项，确保员工的合法权益得到充分保障。
四、法律后果与风险提示
未出具证明的法律后果：
- 若公司未按规定出具解除劳动合同的证明，将可能面临劳动行政部门的责令改正及赔偿责任。这将对公司的声誉和财务状况造成不利影响。
员工维权途径：
- 若员工认为公司未依法履行相关义务，有权向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁。公司应做好应对准备，确保自身权益不受侵害。
巴元芳律师建议：公司在辞退员工时，应严格遵守法律法规的要求，确保所有手续合法合规。若遇到员工不配合沟通的情况，应通过合法途径送达相关文件，并保留好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。