结论前置：公司辞退员工后不出具解除证明是不合法的，劳动者有权要求公司出具，并可通过法律途径维护自己的合法权益。

法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的明确规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时，出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这是用人单位的法定义务，不得违反。

辞退证明的重要性

辞退证明对劳动者具有多重重要作用：

1. 就业方面：新用人单位在招聘时通常需要劳动者提供离职证明，以了解其工作经历、离职原因及工资结算情况等重要信息。没有辞退证明可能会影响劳动者的就业前景。
2. 领取失业保险金：失业人员领取失业保险金时，需要提供包括辞退证明在内的相关材料。缺少辞退证明可能导致劳动者无法正常享受失业保险待遇。

公司未开具辞退证明的法律后果

如果公司未按照法律规定开具辞退证明，将面临以下法律后果：

1. 行政责任：劳动行政部门有权责令公司改正其违法行为，并可对其处以罚款等行政处罚措施。
2. 赔偿责任：若因公司未出具辞退证明给劳动者造成损害的，如影响劳动者就业或领取失业保险金等，公司还需承担相应的赔偿责任。

劳动者的应对措施

面对公司拒绝开具辞退证明的情况，劳动者可以采取以下措施来维护自身权益：

1. 与公司协商：首先尝试与公司进行协商，明确告知其行为违法，并要求按照法律规定出具辞退证明。通过友好协商，往往能够快速解决问题。
2. 向劳动监察部门投诉：若协商无果，劳动者可以向当地的劳动监察部门投诉，由劳动监察部门介入调查并责令公司改正。
3. 申请劳动仲裁：劳动者还可以通过劳动仲裁的方式解决争议，要求公司出具辞退证明，并就因未出具证明给劳动者造成的损失进行赔偿。在申请劳动仲裁时，劳动者应当注意保留好相关证据，如工作交接单、与公司沟通的录音或聊天记录等，以支持自己的主张。

实际案例与启示

在实际操作中，已经有多起因公司未出具辞退证明而引发的劳动争议案件。这些案件中，劳动者通过法律途径成功维护了自己的合法权益，获得了相应的赔偿。因此，劳动者在面对公司拒绝开具辞退证明的情况时，应当勇敢站出来，通过合法途径维护自己的权益。

综上所述，公司辞退员工后不出具解除证明是不合法的。劳动者应当了解自己的合法权益，并采取适当的措施来维护自己的权益。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。